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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der elementweisen Addition und Skalar-Multiplikation ein Untervektorraum des Vektorraums der [mm] 2\times2 [/mm] Matrizen ist.Es sei a,b,c [mm] \in\IR.
[/mm]
a) [mm] M=\pmat{ a & b \\ b & a } [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich hab einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.Ich muss ja für einen Untervektorraum zunächst folgendes überprüfen:
1.) Wenn ich zwei Matrizen aus M addiere muss wieder eine Matrix rauskommen,die in der Menge M liegt.
Dann hab ich mir gedacht,schreib ich das so auf:
[mm] \pmat{ a_{11} & b_{12} \\ b_{21} & a_{22} }+\pmat{ a_{11} & b_{12} \\ b_{21} & a_{22} }=...
[/mm]
Ich bin nur bei der Indizierung unsicher,ob ich das so aufschreiben kann.Wenn ich das weiterrechne,hab ich am Ende [mm] ...=2*\pmat{ a_{11} & b_{12} \\ b_{21} & a_{22} }.
[/mm]
Ich glaube aber dass man das nicht so aufschreiben kann,aber ich weiß nicht wie ich das sonst machen kann.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
du musst ja zwei beliebige Matrizen nehmen, also solltest (musst) du verschiedene Indizes nehmen:
[mm]\pmat{ a & b \\ b & a } + \pmat{ c & d \\ d & c }
=\pmat{ a + c & b + d \\ b + d & a+c } [/mm]
Dann hast du schon die benötigte Struktur. Vielleicht musst du jetzt noch eine Umbenennung machen, aber das halte ich für unnötig. Das wäre dann:
[mm]... =\pmat{ x & y \\ y & x} \ mit \ x = a+c \ und \ y = b+d [/mm]
Jetzt noch der Nachweis der Multiplikation, der ja genauso einfach ist:
[mm]r*\pmat{ a & b \\ b & a } = \pmat{ r*a & r*b \\ r*b & r*a }[/mm]
Auch da bist du im Grunde jetzt schon fertig oder du machst eben wieder die x,y Geschichte.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.Ist ja eigentlich nicht schwer.
> du musst ja zwei beliebige Matrizen nehmen, also solltest
> (musst) du verschiedene Indizes nehmen:
> [mm]\pmat{ a & b \\ b & a } + \pmat{ c & d \\ d & c }
=\pmat{ a + c & b + d \\ b + d & a+c }[/mm]
>
> Dann hast du schon die benötigte Struktur. Vielleicht musst
> du jetzt noch eine Umbenennung machen, aber das halte ich
> für unnötig. Das wäre dann:
> [mm]... =\pmat{ x & y \\ y & x} \ mit \ x = a+c \ und \ y = b+d[/mm]
Nur hier,bin ich dann schon fertig???Und woher weiß ich denn,dass [mm] \pmat{ a + c & b + d \\ b + d & a+c } [/mm] in M liegt?
> Jetzt noch der Nachweis der Multiplikation, der ja genauso
> einfach ist:
> [mm]r*\pmat{ a & b \\ b & a } = \pmat{ r*a & r*b \\ r*b & r*a }[/mm]
>
> Auch da bist du im Grunde jetzt schon fertig oder du machst
> eben wieder die x,y Geschichte.
lg
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Naja, in M sind alle Matrizen, bei denen die Einträge links unten und rechts oben gleich sind und die beiden anderen auch, d.h. du musst nur schauen, dass du wieder so eine Matrix bekommst, bei der das auch so ist. Deswegen auch der Zusatzschritt mit dem x,y. Eigentlich siehst du das ja schon bei a+c und b+d, dass die Einträge übereinstimmen, aber wenn du die noch umbenennst, bekommst du genau die Struktur, die in M drin steht.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) M={ [mm] \pmat{ a & b \\ c & 0 }|a+b+c=1 [/mm] } |
Ok,danke.
Ich hab jetzt mal die b) versucht:
1.) [mm] \pmat{ a & b \\ c & 0 }+\pmat{ d & e \\ f & 0 }=\pmat{ a+d & b+e \\ c+f & 0 }
[/mm]
Hier weiß ich nur nicht wie ich a+b+c=1 nutzen kann,also wo ich das einbauen kann?
2.) [mm] r*\pmat{ a & b \\ c & 0 }=\pmat{ ra & rb \\ rc & 0 }
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
lg
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> b) M= [mm]\{\pmat{ a & b \\ c & 0 }|a+b+c=1 \} [/mm]
> Ok,danke.
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> Ich hab jetzt mal die b) versucht:
>
> 1.) [mm]\pmat{ a & b \\ c & 0 }+\pmat{ d & e \\ f & 0 }=\pmat{ a+d & b+e \\ c+f & 0 }[/mm]
>
> Hier weiß ich nur nicht wie ich a+b+c=1 nutzen kann,also wo
> ich das einbauen kann?
>
Na, du musst doch die Summe der drei Einträge untersuchen und schauen, ob da tatsächlich 1 heraus kommt:
a+d+b+e+c+f = (a+b+c) + (d+e+f) = 1 + 1 = 2
Also ist das kein Unterraum. Dann brauchst du das andere natürlich nicht mehr prüfen.
> 2.) [mm]r*\pmat{ a & b \\ c & 0 }=\pmat{ ra & rb \\ rc & 0 }[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung?
Der Vollständigkeit halber gleiches: ra + rb + rc = r(a+b+c)=r, das muss ja auch nicht unbedingt 1 sein.
>
> lg
Wenn du allerdings schon vermutest, dass es kein Unterraum ist, reicht schon ein konkretes Gegenbeispiel (als Alternative zu obiger Rechnung - die ich vorziehen würde, weil die sowohl für PRO Unterraum als auch CONTRA Unterraum funktionieren kann):
[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0} + \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] und die liegt offenbar nicht in M.
Gruß,
wg
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