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Guten Abend
Folgende Aufgabe muss ich lösen:
Für welche Werte a [mm] \varepsilon \IR [/mm] ist die Menge
{(x,y,z) [mm] \varepsilon \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2}-y^{2}+z^{2}=0, [/mm] ax-y=0}
ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}?
[/mm]
Unterscheide für a die Fälle:
- |a| = [0,1[
- a = 1
- a = -1
- a > 1
Nun kann ich die 2. Gleichung nach y auflösen:
y = a*x
Dann diese in die 1. Gleichung einsetzen:
0 = [mm] x^{2}-(a*x)^{2}+z^{2} [/mm] = [mm] x^{2}*(1-a^{2})+z^{2}
[/mm]
und jetzt? Wie kann ich nun bestimmen ob es ein Untervektorraum ist oder nicht?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Folgende Aufgabe muss ich lösen:
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> Für welche Werte a [mm]\varepsilon \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist die Menge
> {(x,y,z) [mm]\varepsilon \IR^{3}[/mm] | [mm]x^{2}-y^{2}+z^{2}=0,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ax-y=0}
> ein Untervektorraum von [mm]\IR^{3}?[/mm]
> Unterscheide für a die Fälle:
> - |a| = [0,1[
> - a = 1
> - a = -1
> - a > 1
Wie man auf diese Faelle kommt weiss ich nicht...
> Nun kann ich die 2. Gleichung nach y auflösen:
> y = a*x
> Dann diese in die 1. Gleichung einsetzen:
> 0 = [mm]x^{2}-(a*x)^{2}+z^{2}[/mm] = [mm]x^{2}*(1-a^{2})+z^{2}[/mm]
> und jetzt? Wie kann ich nun bestimmen ob es ein
> Untervektorraum ist oder nicht?
Nun, schau doch mal. Ist [mm] $a^2 [/mm] = 1$, so ist $1 - [mm] a^2 [/mm] = 0$, also hats du die Gleichungen $y = a x$ und [mm] $z^2 [/mm] = 0$, also $z = 0$. Dann hast du doch einen tollen Untervektorraum.
Ist $1 - [mm] a^2 [/mm] > 0$, so hat $(1 - [mm] a^2) x^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 0$ nur die Loesungen $x = z = 0$ in den reellen Zahlen (warum?).
Also bleibt der Fall [mm] $a^2 [/mm] > 1$. Wie sehen die Punkte $(x, z)$ mit $(1 - [mm] a^2) x^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 0$ aus? Kann es dann ein Untervektorraum sein?
LG Felix
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> Nun, schau doch mal. Ist [mm]a^2 = 1[/mm], so ist [mm]1 - a^2 = 0[/mm], also
> hats du die Gleichungen [mm]y = a x[/mm] und [mm]z^2 = 0[/mm], also [mm]z = 0[/mm].
> Dann hast du doch einen tollen Untervektorraum.
Wieso ist denn dass ein toller Untervektorraum?????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Fr 16.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo liegen alle Punkte der [mm] \IR^3 [/mm] mit x=z=0?
Was sind denn die Bedingungen fuer einen Untervektorraum?
die musst du dir erst mal richtig klarmachen!
erfuellen die Vektoren (x,y,z) mit x=z=0 diese Bedingung?
entsprechend fuer die anderen a, schreib Vektoren auf, die die bed. erfuellen, und seh ob sie nen UVR bilden
Gruss leduart
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