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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 30.12.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass die Menge
U:= [mm] \{ \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\in \IR^{3}: x1 +x2 +x3 = 0 \}
[/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. |
Ich bräuchte Unterstützung bei der Untersuchung auf Untervektorraum.
Ich weiß, dass man drei Dinge untersuchen muss:
1. Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
2. Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation
3. 0 ist kein Element der Menge
Aber wie fange ich an?
Zu 1:
x1, x2, x3 können ja beliebige Werte sein.
Wie kann man denn allgemein zeigen, dass wenn man diese Vektoren adiert, man wieder in der Menge landet?
Zu2:
Wäre das hier ok?
[mm] (\lambda [/mm] x1) + [mm] (\lambda [/mm] x2) + [mm] (\lambda [/mm] x3)
= [mm] (\lambda [/mm] ) (x1 + x2 + x3)
[mm] (\lambda) [/mm] lässt sich komplett ausklammern, sodass die ursprüngliche Form
x1 + x2 + x3 stehen bleibt.
Wäre das für die Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation ok?
Zu 3:
Soll ich jetzt in die Gleichung: x1 + x2 + x3 eine Null einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 30.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu 1)
x,y [mm] \in [/mm] U genau dann wenn
[mm] \summe_{i=1}^{3}x_i=0 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{3}y_i=0
[/mm]
Jetzt bildet man z=x+y
Was gilt dann dann für z?
Ähnlich kann man bei 2 vorgehen.
Bei 3 ist mir nicht klar was Du meinst. 0 [mm] \in [/mm] U weil 0+0+0=0 gilt. Wahrscheinlich meinst Du aber
[mm] U\ne\emptyset
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 30.12.2010 | | Autor: | zoj |
Zu 1:
$ [mm] \summe_{i=1}^{3}x_i=0 [/mm] $
x1 + x2 + x3 =0
$ [mm] \summe_{i=1}^{3}y_i=0 [/mm] $
y1 + y2 + y3 =0
z = x1 + y2 + x2 + y2 + x3 + y3
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) = 0
Meist du so? Aber was sagt mir das?
Zu 3:
Genau
$ [mm] U\ne\emptyset [/mm] $
U ist keine leere Menge
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Huhu,
> z = x1 + y2 + x2 + y2 + x3 + y3
z soll doch ein Vektor sein und keine relle Zahl!
> U ist keine leere Menge
korrekt, warum nicht?
Aber nochmal von vorn: Generell würde ich dir für eine solche Aufgabe gerade zu Beginn deines Studium mal vorschlagen, sich erstmal einige Dinge klarzumachen.
Dazu mal eine Frage von mir an dich: Beschreib doch mal in Worten das Kriterium des Unterraums.
Also drücke mal bitte in Worten ohne Verwendung von [mm] x_1, x_2 [/mm] oder [mm] x_3 [/mm] aus, wann ein Vektor in dem Unterraum U liegt.
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Do 30.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ich stelle mir unter einem Vektorraum folgendes vor:
Wenn man Vektoren eines Unterraumes addiert und mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, dann liegen die resultierende Vektoren ebenfalls in diesem Unterraum.
Und dieser soll ja nicht leer sein, da es sonst keinen Sinn macht.
Der Unterraum ist für mich so eine Art Hülle, die die Vektoren durch die Multiplikation und Addition niemals verlassen werden.
So stelle ich mir ein Unteraum vor.
Wenn ich aber darüber nachdenke, dass ein Vektor länger wird, wenn ich was drauf addiere dann fällt es mir schwer zu glauben, dass die Vektoren die "Hülle" niemals verlassen werden, da diese ja länger werden.
Ich frage mich wie ihr das so hinbekommt. Wenn du z.B was verstehen willst, wie gehst du dann vor? Wikipedia stehen nur Formeln. Aber das bringst irgendwie garnichts. Denn wenn man spätestens eine Aufgabe rechnen will, weis man das Vorgehen nicht. Man weis zwar so und so muss das sein wie zb in diesen Fall aber nicht wie man konkret rangeht.
Zu 1:
Wenn z ein Vektor ist, dann muss dieser drei Komponenten haben.
z1, z2, z3
z1: x1 + y1
z2: x2 + y2
z3: x3 + y3
Meinst du etwa so?
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Hallo zoj,
> Ich stelle mir unter einem Vektorraum folgendes vor:
>
> Wenn man Vektoren eines Unterraumes addiert und mit einer
> Zahl (Skalar) multipliziert, dann liegen die resultierende
> Vektoren ebenfalls in diesem Unterraum. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dieser soll ja nicht leer sein, da es sonst keinen
> Sinn macht.
Genau, die zugrunde liegende Menge (der Vektoren) ist per definitionem nicht-leer
>
> Der Unterraum ist für mich so eine Art Hülle, die die
> Vektoren durch die Multiplikation und Addition niemals
> verlassen werden.
Ja, eine nicht-leere Teilmenge der "Ober"vektorraumes, die unter den gegebenen Verknüpfungen abgeschlossen ist.
Die Bedingung, dass [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] gelten muss, ist übrigens äquivalent dazu, dass [mm] $\vec{0}\in [/mm] U$ liegt.
Das ist oft leicht zu prüfen, hier auch.
Liegt der Nullvektor in $U$?
>
> So stelle ich mir ein Unteraum vor.
> Wenn ich aber darüber nachdenke, dass ein Vektor länger
> wird, wenn ich was drauf addiere dann fällt es mir schwer
> zu glauben, dass die Vektoren die "Hülle" niemals
> verlassen werden, da diese ja länger werden.
>
> Ich frage mich wie ihr das so hinbekommt. Wenn du z.B was
> verstehen willst, wie gehst du dann vor? Wikipedia stehen
> nur Formeln. Aber das bringst irgendwie garnichts. Denn
> wenn man spätestens eine Aufgabe rechnen will, weis man
> das Vorgehen nicht. Man weis zwar so und so muss das sein
> wie zb in diesen Fall aber nicht wie man konkret rangeht.
>
> Zu 1:
> Wenn z ein Vektor ist, dann muss dieser drei Komponenten
> haben.
>
> z1, z2, z3
Ok, also [mm]\vec{z}=\vektor{z_1\\
z_2\\
z_3}[/mm] mit [mm]z_1,z_2,z_3\in\IR[/mm]
Was bedeutet es, dass [mm]\vec{z}\in U[/mm] ist?
Das ist die definierende Bedingung, die Summe der Komponenten ergibt 0, also [mm]z_1+z_2+z_3=0[/mm]
>
> z1: x1 + y1
> z2: x2 + y2
> z3: x3 + y3
Ah, du meinst, [mm]\vektor{z_1\\
z_2\\
z_3}=\vec{z}=\vec{x}+\vec{y}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}+\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}=\vektor{x_1+y_1\\
x_2+y_2\\
x_3+y_3}[/mm]
Dann stimmt's!
Prüfe, ob dieser Vektor in U liegt.
Gilt [mm]z_1+z_2+z_3=0[/mm], also [mm](x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0[/mm] ??
Benutze, was du über [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{y}\in U[/mm] weißt ...
Analog für die Multiplikation mit Skalaren ...
>
> Meinst du etwa so?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 30.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ja der Null vektor liegt in U.
Das kann ich zeigen, indem ich 0 in die Kompomnenten einsetze:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die Summe dieser Komponenten ist ja Null.
0 + 0 + 0 = 0
Wäre das ok?
Das heißt bei 1:
Ich definiere mir zwei Vektoren: x und y
[mm] \vec{x} [/mm] : [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] : [mm] \vektor{y1 \\ y2 \\ y3}
[/mm]
Nun bilde ich die Summe:
[mm] \vec{z} [/mm] : [mm] \vektor{z1 \\ z2 \\ z3} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] + [mm] \vektor{y1 \\ y2 \\ y3}
[/mm]
= [mm] \vektor{x1 +y1 \\ x2 + y2 \\ x3 + y3}
[/mm]
Nun weis ich aus der Bedingung, dass die Summe der Komponenten Null ergibt.
Daraus folgt:
z = [mm] \vektor{0 +0 \\ 0 + 0 \\0 + 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Ist das richtig so?
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Huhu,
> Ja der Null vektor liegt in U.
>
> Das kann ich zeigen, indem ich 0 in die Kompomnenten
> einsetze:
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Die Summe dieser Komponenten ist ja Null.
> 0 + 0 + 0 = 0
> Wäre das ok?
Ja, das wäre ok
> Das heißt bei 1:
> Ich definiere mir zwei Vektoren: x und y
> [mm]\vec{x}[/mm] : [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
> [mm]\vec{y}[/mm] : [mm]\vektor{y1 \\ y2 \\ y3}[/mm]
>
> Nun bilde ich die Summe:
>
> [mm]\vec{z}[/mm] : [mm]\vektor{z1 \\ z2 \\ z3}[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
> + [mm]\vektor{y1 \\ y2 \\ y3}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{x1 +y1 \\ x2 + y2 \\ x3 + y3}[/mm]
Bis hierhin ist alles ok.
> Nun weis ich aus der Bedingung, dass die Summe der
> Komponenten Null ergibt.
Welcher Komponenten?
> Daraus folgt:
>
> z = [mm]\vektor{0 +0 \\ 0 + 0 \\0 + 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
Nein, und das ist falsch und unüberlegt!
Das würde ja heissen, dass jede Summe von 2 Vektoren immer der Nullvektor wäre..... das gilt nur für den trivialen Untervektorraum.
Halten wir fest: Du hast [mm]z = \vektor{x1 +y1 \\ x2 + y2 \\ x3 + y3}[/mm]
Bis dahin stimmte ja alles.
Was musst du jetzt prüfen, wenn du schauen willst, ob z in U liegt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 30.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ich mus prüfen, ob z1 + z2 + z3 = 0 ist.
(x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = 0
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo zoj
ja, richtig
Gruss leduart
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Huhu,
> Ich mus prüfen, ob z1 + z2 + z3 = 0 ist.
>
> (x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = 0
>
> Richtig?
hinschrieben solltest du es auch und begründen auch 
Den Ausdruck ein bisschen umzuformen, wäre dazu schon hilfreich.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Fr 31.12.2010 | | Autor: | zoj |
So, bin wieder da.
z1 + z2 + z3 = 0
(x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = 0
Den Ausdruck kann ich auch so umschreiben:
(x1 + x2 + x3) + (y1 + y2+ y3) = 0
Jetzt sieht man, dass die beiden Vektoren addiert, eine Null ergeben.
Ist es jetzt besser so?
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Huhu,
> So, bin wieder da.
>
> z1 + z2 + z3 = 0
> (x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = 0
>
> Den Ausdruck kann ich auch so umschreiben:
>
> (x1 + x2 + x3) + (y1 + y2+ y3) = 0
>
> Jetzt sieht man, dass die beiden Vektoren addiert, eine
> Null ergeben.
ja, weil nach Voraussetzung x und y bereits in U sind.
Sollte man vllt. noch erwähnen.
Ansonsten siehts nun gut aus.
Nun das Spielchen noch für [mm] $\lambda*x$ [/mm] mit ner anständigen Begründung.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 31.12.2010 | | Autor: | zoj |
zu 2:
Laut Definition: Eine Menge multipliziert mit einem Skalar bleibt im Unterraum.
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} \in \IR^{3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm]
= [mm] \vektor{\lambda * x1 \\\lambda * x2 \\\lambda * x3} [/mm]
= [mm] (\lambda [/mm] * x1)+( [mm] \lambda [/mm] * [mm] x2)+(\lambda [/mm] * x3)
//Lambda lässt sich ausklammern
= [mm] \lambda [/mm] * (x1 + x2 + x3)
= Aus der Voraussetzung wissen wir : x1+x2+x3=0
=> = [mm] \lambda [/mm] * (0) => 0
Damit wären wir wieder im Unterraum.
Ist das ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja das ist OK. Jetzt musst Du noch zeigen das [mm] U\ne\emptyset [/mm] ist.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Fr 31.12.2010 | | Autor: | zoj |
So: Zeigen, dass die Menge nicht leer ist.
Habe mir Folgendes überlegt:
Eine Menge(in diesem Fall [mm] \IR^{3} [/mm] ), die nicht leer ist, besteht aus irgendwelchen Zahlen auch die Null ist mit dabei.
D.h: Wenn ich irgendwelche Zahlen in meine Menge [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
[/mm]
einsetze muss immer eine Zahls des [mm] \IR^{3} [/mm] rauskommen.
Ich weiss aber, dass x1 + x2 + x3 zusammen-addiert eine Null ergeben.
Dann ist es doch egal welche Zahlen ich einsetze, da immer eine Null rauskommen wird. Und da dies immer der Fall ist, ist die Menge immer
[mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Bsp: x1 + x2 + x3 = 0
5 + 3 + 1 = 0
U [mm] \not= \emptyset [/mm]
Hoffe es ist mathematisch genug ausgedrückt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> So: Zeigen, dass die Menge nicht leer ist.
D.h. es muss Elemente [mm] x\in\IR^3 [/mm] geben mit [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\in \IR^{3}: x_1 +x_2 +x_3 = 0 \}
[/mm]
> Bsp: [mm] x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
> 5 + 3 + 1 = 0
> [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
Das versteh ich nicht, mit [mm] x_1=5, x_2=3 [/mm] und [mm] x_3=1 [/mm] wird [mm] x_1+x_2+x_3=9 [/mm] und nicht 0. Nimm einfach ein anderes Beispiel. Z.B. [mm] x_1=x_2=x_3=0. [/mm] Was kommt dann raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So: Zeigen, dass die Menge nicht leer ist.
>
> Habe mir Folgendes überlegt:
> Eine Menge(in diesem Fall [mm]\IR^{3}[/mm] ), die nicht leer ist,
> besteht aus irgendwelchen Zahlen auch die Null ist mit
> dabei.
>
> D.h: Wenn ich irgendwelche Zahlen in meine Menge
> [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
> einsetze muss immer eine Zahls des
> [mm]\IR^{3}[/mm] rauskommen.
>
> Ich weiss aber, dass x1 + x2 + x3 zusammen-addiert eine
> Null ergeben.
> Dann ist es doch egal welche Zahlen ich einsetze, da immer
> eine Null rauskommen wird. Und da dies immer der Fall ist,
> ist die Menge immer
> [mm]\not= \emptyset.[/mm]
>
> Bsp: x1 + x2 + x3 = 0
> 5 + 3 + 1 = 0
> U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Hoffe es ist mathematisch genug ausgedrückt.
>
es ist leider falsch bzw. total unklar, was Du machen willst. Das einfachste Kriterium, um zu prüfen, ob für einen evtl. Unterraum [mm] $P\,$ [/mm] eines Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] auch $P [mm] \not=\emptyset$ [/mm] gilt (und damit sollte man eigentlich IMMER beginnen), ist, zu prüfen, ob [mm] $\vec{0} \in P\,.$
[/mm]
Dabei ist der Vektor [mm] $\vec{0}$ [/mm] gerade der Vektor [mm] $\vec{0} \in V\,.$ [/mm]
Beispielsweise kann man sofort sagen, dass Menge
[mm] $$P:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x^2+y^2+z^2=-7\}$$
[/mm]
KEIN Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] sein kann. In der Tat kann man sich natürlich [mm] $P=\emptyset$ [/mm] überlegen, aber das braucht man noch nichtmal:
Wäre [mm] $P\,$ [/mm] ein Unterraum, so müßte [mm] $\vec{0}=(0,0,0) \in \IR^3$ [/mm] auch ein Element von [mm] $P\,$ [/mm] sein, also die [mm] $P\,$ [/mm] charakterisierende Bedingungen:
$$(x,y,z) [mm] \in \IR^3 \text{ und }x^2+y^2+z^2=-7\,,$$
[/mm]
d.h.
$$(0,0,0) [mm] \in \IR^3 \text{ und }0^2+0^2+0^2=-7$$
[/mm]
erfüllen. Aber
[mm] $$0^2+0^2+0^2=0 \not=-7$$
[/mm]
zeigt, dass $(0,0,0) [mm] \notin P\,,$
[/mm]
also kann [mm] $P\,$ [/mm] kein Unterraum sein.
P.S.:
Deine Menge wird charakterisiert durch die Bedingungen
[mm] $$(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3 \text{ und }x_1+x_2+x_3=0\,.$$
[/mm]
Wie gesagt: Wegen $(0,0,0) [mm] \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $0+0+0=0\,$ [/mm] ist natürlich die [mm] $(0,0,0)\,$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] auch Element Deiner Menge und damit ist diese nicht leer. Wenn Du das "konstruktiver" angehen willst:
Die Gleichung [mm] $x_1+x_2+x_3=0$ [/mm] kannst Du ja locker nach [mm] $x_1$ [/mm] auflösen und dann beliebige Werte für [mm] $x_2, x_3$ [/mm] einsetzen, so dass Du bspw. mit [mm] $x_2=5,x_3=10$ [/mm] dann [mm] $x_1=-15$ [/mm] hättest und damit wüßtest, dass $(5,10,-15)$ ein Element Deiner Menge ist und diese auch daher nicht leer ist.
P.P.S.:
Wenn Du weißt, wie man eine Ebene in Parameterdarstellung bringt, könntest Du dies auch benutzen... Aber wie gesagt, das einfachste ist:
Wenn eine Menge ein Vektorraum (ein Unterraum ist ja insbesondere ein Vektorraum) ist, dann muss diese stets den Nullvektor enthalten. Und wenn dieser drin ist, dann ist natürlich insbesondere diese Menge nicht leer. Ist dieser nicht drin, so kann zwar die Menge auch weiterhin eine nichtleere Menge sein, sie wird aber mit Sicherheit keinen Vektorraum bilden...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 01.01.2011 | | Autor: | zoj |
ok, danke für die ausführliche Antwort !
Wünsche allen ein frohes neues Jahr!
Das heißt, ich kann immer prüfen, ob der 0-Element in der Teilmenge drinnen ist. Wenn dieser nicht drinnen ist, ist es auch kein Unterraum mehr.
Also bei mir: x1+x2+x3 = 0 => 0 + 0 + 0 =0
=> Menge ist nicht leer.
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> heißt, ich kann immer prüfen, ob der 0-Element in
> der Teilmenge drinnen ist. Wenn dieser nicht drinnen ist,
> ist es auch kein Unterraum mehr.
Hallo,
ja.
>
> Also bei mir: x1+x2+x3 = 0 => 0 + 0 + 0 =0
> => Menge ist nicht leer.
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 01.01.2011 | | Autor: | zoj |
Eine Frage noch: Bei der Musterlösung hat man anders gezeigt, dass es sich um ein Unterraum handelt.
U:= $ [mm] \{ \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\in \IR^{3}: x1 +x2 +x3 = 0 \} [/mm] $
Lösung: U = Kern(1 1 1) => UVR.
Der Kern ist ja die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems.
Bei diesem Beispiel kann ich doch von einem homogenen Gleichungssystem ausgehen, da x1 +x2 +x3 = 0 gleich Ax =0 ist.
A ist demnach (1 1 1 ) = Kern.
Aber woher weiß man, bei welchem Kern es sich um ein Unterraum handelt?
Weiter: Ist diese Methode nur auf homogene Gl bezogen?
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Huhu,
> Der Kern ist ja die Lösungsmenge des homogenen linearen
> Gleichungssystems.
> Bei diesem Beispiel kann ich doch von einem homogenen
> Gleichungssystem ausgehen, da x1 +x2 +x3 = 0 gleich Ax =0
> ist.
> A ist demnach (1 1 1 ) = Kern.
> Aber woher weiß man, bei welchem Kern es sich um ein
> Unterraum handelt?
Grundlagen nacharbeiten!
Jeder Kern einer linearen Abbildung ist ein UVR des Urbildraums.
> Weiter: Ist diese Methode nur auf homogene Gl bezogen?
Ja, weil du sonst keine lineare Abbildung hast!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 So 02.01.2011 | | Autor: | zoj |
Ok, danke für die Unterstützung!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 03.01.2011 | | Autor: | zoj |
Ich habe noch eine Frage zur dieser Menge:
U:= $ [mm] \{ \vektor{x1 \\ x2}\in \IR^{3}: x1 +x2 = 2\} [/mm] $
Ich möchte prüfen, ob dies ein Untervektorraum ist.
Demnach sollte die Menge nicht leer sein und das Nullelement sollte ebenfalls ein Element der Menge sein.
Um das zu überprüfen kann ich doch den Nullvektor einstezen.
Ich bekomme:
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] einsetzen in x1 + x2 = 2
=> 0 + 0 = 2
Die Gleichung wird nicht erfüllt. Offenbar ist der Nullvektor kein Element der Menge U und somit ist U kein Untervektorraum.
Andere Frage: Wenn ich prüfen will, ob die Menhe nicht leer ist, muss ich da immer zusehen, dass die Bedingung (x1 + x2 = 2) erfüllt ist?
Wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] genommen hätte, dann wäre die Gleichung erfült und die Menge nicht leer. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe noch eine Frage zur dieser Menge:
>
> U:= [mm]\{ \vektor{x1 \\ x2}\in \IR^{3}: x1 +x2 = 2\}[/mm]
sollte da nicht eher [mm] $\IR^2$ [/mm] stehen?
> Ich möchte prüfen, ob dies ein Untervektorraum ist.
> Demnach sollte die Menge nicht leer sein und das
> Nullelement sollte ebenfalls ein Element der Menge sein.
Naja, die Logik ist halt die: Wenn es sich um einen Untervektorraum handelt, dann muss insbesondere der Nullvektor (des (vermutlich) [mm] $\IR^2$) [/mm] in dieser Menge enthalten sein (und wenn dieser drin enthalten ist, ist die Menge natürlich insbesondere nicht leer).
> Um das zu überprüfen kann ich doch den Nullvektor
> einstezen.
> Ich bekomme:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] einsetzen in x1 + x2 = 2
> => 0 + 0 = 2
> Die Gleichung wird nicht erfüllt. Offenbar ist der
> Nullvektor kein Element der Menge U und somit ist U kein
> Untervektorraum.
Genau. Das ist logisch korrekt argumentiert. Was Du nun noch wissen willst (auch, wenn es unnötig ist, da wir schon gesehen haben, dass die obige Menge kein Untervektorraum sein kann), ist, ob die Menge eine nichtleere Menge ist.
> Andere Frage: Wenn ich prüfen will, ob die Menhe nicht
> leer ist, muss ich da immer zusehen, dass die Bedingung (x1
> + x2 = 2) erfüllt ist?
Du musst hier prüfen, ob Du [mm] $\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2$ [/mm] finden kannst, so dass [mm] $x_1+x_2=2$ [/mm] gilt. Denn durch genau diese Bedingungen ist die obige Menge ja charakterisiert (beachte, dass da eigentlich zwei Bedingungen stehen: [mm] $\vec{x} \in \IR^2$ [/mm] und somit [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] UND [mm] $x_1+x_2=2$).
[/mm]
> Wenn ich den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] genommen hätte, dann
> wäre die Gleichung erfült und die Menge nicht leer.
Ja, bis auf die Formulierung. Genauer würde man es so ausdrücken:
Der Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2}:=\vektor{1\\1}$ [/mm] ist ein Element des [mm] $\IR^2$ [/mm] UND erfüllt [mm] $x_1+x_2=1+1=2\,,$ [/mm] liegt damit also in der obigen Menge und daher ist diese Menge nicht leer.
Anderes Beispiel:
Die Menge [mm] $\{\vec{r}=(a,b,c)^T \in \IR^3: a^2+b^2=-1\}$ [/mm] ist leer. Denn wäre sie nicht leer, so gäbe es ein Element [mm] $(x,y,z)^T\,$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] mit [mm] $x^2+y^2=-1\,,$ [/mm] aber für jedes Element [mm] $(x,y,z)^T \in \IR^3$ [/mm] gilt [mm] $x^2+y^2 \ge 0\,.$ [/mm] Widerspruch.
(Das hochgestellte $^T$ bedeutet hierbei nur "transponiert", d.h. eigentlich sind Spaltenvektoren gemeint.)
Dabei zeigt übrigens der Teil [mm] $\{\vec{r} \in \IR^3:\ldots\}$ [/mm] an, von welcher Menge (bzw. hier meist: von welchem Vektorraum) wir Teilmengen untersuchen. Das ist deshalb zu beachten, weil sich ohne diese Angabe durchaus (für sogar alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$) auch nichtleere Mengen [mm] $\{\vec{r}=(r_1,\ldots,r_n)^T: r_1^2+r_2^2=-1\}$ [/mm] angeben lassen. Z.B. wenn man für [mm] $n=2\,$ [/mm] dann [mm] $\vec{r} \in \IC^2$ [/mm] (oder [mm] $\vec{r} \in \IR \times \IC$) [/mm] zuläßt.
Es ist also wichtig, dass man für eine gegebene Grundmenge [mm] $G\,$ [/mm] die Menge
[mm] $$\{a \in G: a \text{ hat Eigenschaft }E\}$$
[/mm]
wirklich zu lesen weiß. Genauer ist damit gemeint:
[mm] $$\{a: a \in G \text{ und }a \text{ hat Eigenschaft }E\}\,;$$
[/mm]
d.h. der Teil
[mm] $$\{a \in G:\ldots\}$$
[/mm]
zeigt Dir hier an, von welcher Menge ausgehend wir Teilmengen durch gewisse weitere Eigenschaften charakterisieren.
Also
[mm] $$\{a: a \in G \text{ und }a \text{ hat Eigenschaft }E\}$$
[/mm]
sagt uns nun:
Wenn wir ein $x [mm] \in [/mm] G$ hernehmen und sehen, dass dieses [mm] $x\,$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] hat, dann ist es Element der letztgenannten Menge; nehmen wir ein $x [mm] \in [/mm] G$ her, dass NICHT die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] hat, so liegt es NICHT in der letztgenannten Menge. Elemente $y [mm] \notin [/mm] G$ wiederum untersuchen wir erst gar nicht, da sie, weil sie NICHT $y [mm] \in [/mm] G$ erfüllen, auch nicht in dieser Menge liegen können. Daher:
Bezüglich
[mm] $$P:=\{a: a \in G \text{ und }a \text{ hat Eigenschaft }E\}$$
[/mm]
gilt:
$$x [mm] \in [/mm] P [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \text{ und }x \text{ hat Eigenschaft }E\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 04.01.2011 | | Autor: | zoj |
ok, danke!
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