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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 22.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
kurze Verständnisfrage:
Kann die Dimension des Schnitts zweier Vektorräume größer sein als jede Dimension dieser zwei Vektorräume?
Also kann es zB sein, dass [mm] dim(V_{1} \cap V_{2})= [/mm] 8 und [mm] dim(V_{1}) [/mm] = [mm] dim(V_{2}) [/mm] = 7?
Viele Grüße
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> kurze Verständnisfrage:
> Kann die Dimension des Schnitts zweier Vektorräume
> größer sein als jede Dimension dieser zwei Vektorräume?
> Also kann es zB sein, dass [mm]dim(V_{1} \cap V_{2})=[/mm] 8 und
> [mm]dim(V_{1})[/mm] = [mm]dim(V_{2})[/mm] = 7?
ich nehme an, es geht hier eh nur um endlichdimensionale Vektorräume:
Die Antwort ist: Nein - zum einen folgt das aus dem Basisergänzungssatz:
Eine Basis des Schnittes kann man - jeweils - zu einer Basis der anderen
beiden Vektorräumen ergänzen.
Außerdem gilt die Dimensionsformel:
[mm] $$\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1 \cap V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)\,,$$
[/mm]
welche
[mm] $$\dim(V_1\cap V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)-\dim(V_1+V_2)$$
[/mm]
impliziert - und wobei [mm] $\dim(V_1+V_2) \ge \max\{\dim(V_1),\;\dim(V_2)\}$
[/mm]
klar ist...
P.S. Man kann es halt auch so begründen: Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein Vektorraum und ist
$U [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Unterraum, so folgt [mm] $\dim(U) \le \dim(V)\,.$ [/mm] (Wieder
etwa: Basisergänzungssatz!)
Und oben ist halt klar, dass [mm] $V_1 \cap V_2$ [/mm] ein Unterraum sowohl von
[mm] $V_1$ [/mm] als auch von [mm] $V_2$ [/mm] ist. Daher folgt sogar
[mm] $$\dim(V_1 \cap V_2) \le \min\{\dim(V_1),\;\dim(V_2)\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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