Untervektorraum bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 So 15.11.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
| Aufgabe | Sei 0 [mm] \in \IN. [/mm] Im folgenden sind stets ein Körper K, ein K-Vektorraum V und eine Teilmenge U [mm] \subseteq [/mm] V gegeben. Beantworte in jedem Fall die Frage: Ist U ein Untervektorraum von V?
(1) K = [mm] \IQ [/mm] V = [mm] \IQ^{3} [/mm] U = {(a,b,c) [mm] \in [/mm] V | a = b + 2c}
(2) K = [mm] \IC [/mm] V = [mm] \IC^{2} [/mm] U = {(w,z) [mm] \in [/mm] V | [mm] w^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 0}
(3) K = [mm] \IR [/mm] V = [mm] \IR^{\IR} [/mm] U = {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] f(x) [mm] \in \IQ [/mm] }
(4) K = [mm] \IR [/mm] V = [mm] \IR^{\IR} [/mm] U = {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ: [/mm] f(x) = 0} |
Hey Leute,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Ich habe nun Die Vektorräume angesehen und bin dann zum Ergebnis gekommen, dass
1) Ja
2) Ja
3) Nein
4) Ja
Hoffe mal dass das so stimmt, wenn ja dann müsste ich das nochmal zeigen. Leider weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. Wenn es um denn Nullvektor nachzuweisen geht, kann ich das ja so machen
1) Sei b=0 und c=0 => a=0, d.h. (0,0,0) [mm] \in [/mm] U
2) Sei w=0+0i und z = 0+0i, d.h. [mm] z^{2} [/mm] + [mm] w^{2} [/mm] = 0, also ist (0+0i, 0+0i) ebenfalls in V
...
Zunächst meine Frage: Stimmen meine Lösungen? Und ist es so richtig wie ich den 0-Vektor nachweise? Wie kann ich zeigen dass die Addition in 1), 2), 3) abgeschlossen ist und dass die Multiplikation einer zahl [mm] \alpha [/mm] aus K multipliziert mit einem Vektor aus U wieder ein Vektor aus U ist .
Vg,
Hamd.44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei 0 [mm]\in \IN.[/mm] Im folgenden sind stets ein Körper K, ein
> K-Vektorraum V und eine Teilmenge U [mm]\subseteq[/mm] V gegeben.
> Beantworte in jedem Fall die Frage: Ist U ein
> Untervektorraum von V?
>
> (1) K = [mm]\IQ[/mm] V = [mm]\IQ^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = {(a,b,c) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | a =
> b + 2c}
> (2) K = [mm]\IC[/mm] V = [mm]\IC^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = {(w,z) [mm]\in[/mm] V |
> [mm]w^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}
> (3) K = [mm]\IR[/mm] V = [mm]\IR^{\IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = {f: [mm]\IR \to \IR[/mm] |
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR:[/mm] f(x) [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> (4) K = [mm]\IR[/mm] V = [mm]\IR^{\IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = {f: [mm]\IR \to \IR[/mm] |
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x) = 0}
>
> Hey Leute,
>
> ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Ich habe nun Die
> Vektorräume angesehen und bin dann zum Ergebnis gekommen,
> dass
> 1) Ja
> 2) Ja
> 3) Nein
> 4) Ja
>
> Hoffe mal dass das so stimmt,
Es stimmt.
> wenn ja dann müsste ich das
> nochmal zeigen. Leider weiß ich nicht wie ich das zeigen
> soll. Wenn es um denn Nullvektor nachzuweisen geht, kann
> ich das ja so machen
> 1) Sei b=0 und c=0 => a=0, d.h. (0,0,0) [mm]\in[/mm] U
> 2) Sei w=0+0i und z = 0+0i, d.h. [mm]z^{2}[/mm] + [mm]w^{2}[/mm] = 0, also
> ist (0+0i, 0+0i) ebenfalls in V
Ist Dir klar, dass dass die Menge U in 2) nur ein Element enthält ?
> ...
>
> Zunächst meine Frage: Stimmen meine Lösungen? Und ist es
> so richtig wie ich den 0-Vektor nachweise? Wie kann ich
> zeigen dass die Addition in 1), 2), 3) abgeschlossen ist
> und dass die Multiplikation einer zahl [mm]\alpha[/mm] aus K
> multipliziert mit einem Vektor aus U wieder ein Vektor aus
> U ist .
Nehmen wir uns (1) vor: seien u:=(a,b,c), v:=(x,y,z) [mm] \in [/mm] U und [mm] \alpha \in \IQ.
[/mm]
Dann ist a=b+2c und x=y+2z. Addiert man diese Gleichungen , so kommt
a+x=b+y+2(c+z).
Siehst Du nun, dass u+v [mm] \in [/mm] U ist ? Warum ist [mm] $\alpha*u \in [/mm] U$
Oder bei (4): seien f,g [mm] \in [/mm] U. Dann ist (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0 für alle x [mm] \in \IQ, [/mm] somit: f+g [mm] \in [/mm] U.
etc...
Warum ist das U in (3) eigentlich kein Untervektorraum ?
FRED
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>
> Vg,
> Hamd.44
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