Untervektorraum oder nicht? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | | [mm] M=\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2}: x_{1}^{2} + x_{2}^{4} = 0\} \subset \IR^{2} [/mm] |
Hallo,
ist die folgende Menge ein Untervektorraum?
[mm] M=\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2}: x_{1}^{2} + x_{2}^{4} = 0\} \subset \IR^{2}
[/mm]
Zum prüfen, ob M die 0 enthält habe ich folgendes gemacht:
Sei m [mm] \in [/mm] M, [mm] m=\{(0,0)\} [/mm] : [mm] 0^{2} [/mm] + [mm] 0^{4} [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] M
Die nächste Bedinung wäre: u, v [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] u + v [mm] \in [/mm] M.
Sei [mm] u=\{(u1,u2)\} \in [/mm] M und [mm] v=\{(v1,v2)\} \in [/mm] M:
u + v = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1+v1,u2+v2) [mm] \in [/mm] M, da [mm] (u1+v1)^{2} [/mm] + [mm] (u2+v2)^{4} [/mm] = 0 gilt.
Die dritte Bedingung, [mm] \lambda \in \IR, [/mm] u [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow \lambda*m \in [/mm] M, erfolgt eigentlich fast analog.
Meine Frage ist nun, ob dies wirklich ein Untervektorraum ist, denn die Gleichung in der Menge M ist ja offensichtlich nur für (0,0) erfüllt. Langt ein Element aus, damit es ein Untervektorraum ist, und damit auch die Gleichungen in den 3 Bedingungen erfüllt?
(Nebenbei, ist meine Form so korrekt?)
Grüße
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> [mm]M=\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2}: x_{1}^{2} + x_{2}^{4} = 0\} \subset \IR^{2}[/mm]
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> Hallo,
> ist die folgende Menge ein Untervektorraum?
> [mm]M=\{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2}: x_{1}^{2} + x_{2}^{4} = 0\} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> Zum prüfen, ob M die 0 enthält habe ich folgendes
> gemacht:
> Sei m [mm]\in[/mm] M, [mm]m=\{(0,0)\}[/mm] : [mm]0^{2}[/mm] + [mm]0^{4}[/mm] = 0 [mm]\in[/mm] M
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die nächste Bedinung wäre: u, v [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] u + v
> [mm]\in[/mm] M.
> Sei [mm]u=\{(u1,u2)\} \in[/mm] M und [mm]v=\{(v1,v2)\} \in[/mm] M:
> u + v = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1+v1,u2+v2) [mm]\in[/mm] M, da
> [mm](u1+v1)^{2}[/mm] + [mm](u2+v2)^{4}[/mm] = 0 gilt.
>
> Die dritte Bedingung, [mm]\lambda \in \IR,[/mm] u [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow \lambda*m \in[/mm]
> M, erfolgt eigentlich fast analog.
Moment, wieso gelten diese beiden?
Wieso gilt etwa [mm] $(u_1 [/mm] + [mm] v_1)^2 [/mm] + [mm] (u_2 [/mm] + [mm] v_2)^4 [/mm] = 0$ ?
Das will sich mir ohne irgend eine Begründung nicht wirklich erschließen...
> Meine Frage ist nun, ob dies wirklich ein Untervektorraum
> ist, denn die Gleichung in der Menge M ist ja
> offensichtlich nur für (0,0) erfüllt. Langt ein Element
> aus, damit es ein Untervektorraum ist, und damit auch die
> Gleichungen in den 3 Bedingungen erfüllt?
Nun, das klassische Vorgehen wäre das folgende:
Du versuchst die Bedingungen zu beweisen und scheiterst (denn das oben kann man nicht allgemein zeigen).
Dann versuchst du ein Gegenbeispiel zu finden und scheiterst auch dabei.
Nun ist dir aber inzwischen aufgefallen, dass die Menge nur das Element (0,0) beinhaltet.
Mit diesem Wissen (das natürlich noch bewiesen werden muss!) gehst du erneut daran: Ist [mm] $\{ (0,0) \}$ [/mm] ein Untervektorraum von [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Die Antwort ist ja, aber die müsstest du natürlich noch begründen indem du die drei Bedingungen durchgehst.
> (Nebenbei, ist meine Form so korrekt?)
Es fehlen wie gesagt einige Begründungen bzw. Beweise.
Zu dem Vorgehen und Scheitern von oben:
Wenn du es formal aufschreiben möchtest beginnst du mit der Feststellung (und dem Beweis), dass die Menge nur die 0 enthält.
Den ersten Teil lässt du komplett weg, auch wenn das deine Überlegungen waren so braucht ja keiner zu wissen, dass du nicht sofort auf die Lösung gekommen bist. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Okay, danke.
Nur zur Vollständigkeit und auch für andere Aufgaben der selben Art, wie genau kann ich bei der 2. Bedingung zeigen, dass (u1+v1,u2+v2) in M liegt? Da ist mir nicht so richtig ein Weg eingefallen.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast nur zur Verfügung, dass [mm] u_1^2+u_2^4=0 [/mm] daselbe für v.
wenn daraus nicht folgt [mm] (u_1+v_1)^2+(u2+v2)^2=0 [/mm] ist es eben kein UVR! also multipkl. die klammern aus!
entsprechend mit [mm] \alpha*u
[/mm]
aber nur ein kriterium muss nicht stimmen, dann ists kein VR!
Gruss leduart.
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