Untervektorraum und Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Bin gerade an folgender Aufgabe:
Es sei K ein beliebiger Körper und St(nxn, K) bezeichne die Teilmenge von Mat(nxn, K), die aus allen Matrizen A besteht, für welche alle Zeilensummen den gemeinsamen Wert [mm] \sigma(A) [/mm] haben.
Man zeige, dass St(nxn, K) ein Untervektorraum der Dimension [mm] n^2-n+1 [/mm] ist.
Meine Lösung dazu:
z.z. St(nxn, K) ist Untervektorraum
1) St(nxn, K) ist nichtleer, da die Nullmatrix enthalten ist.
2) A [mm] \in [/mm] St(nxn, K) & B [mm] \in [/mm] St(nxn, K) [mm] \Rightarrow [/mm] (A+B) [mm] \in [/mm] St(nxn, K)
C = A+B = [mm] (a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij})_{i=1,...,n; j=1,...n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} c_{ki} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{ki} =\summe_{i=1}^{n} (a_{ki}+b_{ki}) [/mm] = [mm] \sigma(A) [/mm] + [mm] \sigma(B) [/mm] =: [mm] \sigma(C) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (A+B) [mm] \in [/mm] St(nxn, K)
3) [mm] \lambda \in [/mm] K & A [mm] \in [/mm] St(nxn, K) [mm] \Rightarrow \lambda*A \in [/mm] St(nxn, K)
[mm] \lambda [/mm] * A = [mm] \pmat{ \lambda*a_{11} & ... & \lambda*a_{1n} \\ ... \\ \lambda*a_{n1} & ... & \lambda*a_{nn} } [/mm] = D
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} d_{ki} [/mm] = [mm] \lambda *\sigma(A) [/mm] =: [mm] \sigma(D) \Rightarrow \lambda [/mm] * A [mm] \in [/mm] St(nxn, K)
Ist das so korrekt?
z.z.: dim(St(nxn, K)) = [mm] n^2-n+1 [/mm]
Da weiss ich nicht wirklich wie ich es zeigen soll. Ich sollte doch eine Basis des Unterraums finden. Aber das klappt nicht so wirklich.
z.B. für n=2: Ist da die Basis nicht:
[mm] \{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
Dann wäre ja die dim(St(2x2, K) = 4, aber laut der Formel ist die dim(St(2x2, K)= [mm] 2^2-2+1=3
[/mm]
Also wie ist denn die Basis für n=2?
Dann habe ich noch eine weitere Aufgabe:
Sei Sym(nxn, K) die Teilmenge der A [mm] \in [/mm] Mat(nxn, K) mit [mm] A^t=A. [/mm] Man zeige, dass Sym(nxn, K) ein Unterraum ist und bestimme die Dimension.
Meine Lösung:
Zu zeigen, dass Sym(nxn, K) ein Unterraum ist, war kein Problem.
Die Dimension dieses Unterraums steht ja auf Wikipedia: [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Aber wie zeige ich diese formal richtig/ wie komme ich von selbst auf diese Formel?
Habe mir die Basen für n=2,3,4 notiert. Meine Anzahl Basiselemente stimmt auch mit der obigen Formeln der Dimension überein. Aber ich glaube selbst wäre ich nie auf diese Formel gekommen.
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine sog Basis hat doch nicht die gleichen Zeilensummen, ist also falsch,
du musst keine basis finden, obwohl das auch geht, fang mit der Einheitsmatrix an
sondern zeigen, was der rang der matrix ist.
gruss leduart
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Hallo leduart
Vielen Dank für deinen Kommentar. Leider beantwortet das nicht wirklich alle meine Fragen!???
Den rang von welcher Matrix??? Und wie komme ich dann auf die Dimension?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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