Untervektorraum von C² < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 11.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
| Aufgabe | Für beliebige [mm] \alpha ,\beta \in \IC^2 [/mm] sei die Teilmenge
[mm] X_\alpha_,_\beta :=\{t\alpha+u\beta | t,u \in \IR \} \subseteq \IC^2
[/mm]
definiert.
Welche Bedingung ist an [mm] \alpha ,\beta [/mm] zu stellen, damit [mm] X_\alpha_,_\beta [/mm] ein Untervektorraum
von dem [mm] \IC [/mm] -Vektorraum [mm] \IC^2 [/mm] ist? |
Hallo!
Ich habe Probleme mit der gestellten Frage.
In der Vorlesung hatten wir folgendes gesagt:
Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge [mm] W\subseteq [/mm] V heißt K-Untervektorraum von V falls:
1) [mm] W\not=\emptyset
[/mm]
2) [mm] v,w\in W\Rightarrow v+w\in [/mm] W
3) [mm] v\in W,\lambda \in K\Rightarrow \lambda *v\in [/mm] W
Heißt das im konkreten Fall:
1) [mm] X_\alpha_,_\beta \not=\emptyset
[/mm]
2) [mm] x,y\in X_\alpha_,_\beta \Rightarrow x+y\in X_\alpha_,_\beta
[/mm]
3) [mm] x\in X_\alpha_,_\beta,\lambda \in \IC \Rightarrow \lambda*x \in X_\alpha_,_\beta [/mm]
oder ist [mm] \lambda\in\IC^2?
[/mm]
Jetzt meine eigentlichen Fragen:
zu 1)
darf ich [mm] \alpha,\beta [/mm] beispielsweise als Nullvektoren wählen und damit zeigen, dass [mm] 0\in X_\alpha_,_\beta [/mm] und somit [mm] X_\alpha_,_\beta [/mm] nicht leer ist?
zu 2)
Wie zeige ich, dass [mm] x+y\in X_\alpha_,_\beta [/mm] ? Wie sehen meine x,y denn überhaupt aus?
[mm] x=\alpha [/mm] + [mm] i*\beta
[/mm]
[mm] y=\gamma [/mm] + [mm] i*\delta
[/mm]
?
Ich hoffe jemand kann mir helfen!
Danke und Grüße
MrMuffin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Mr.Muffin und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Für beliebige [mm]\alpha ,\beta \in \IC^2[/mm] sei die Teilmenge
> [mm]X_\alpha_,_\beta :=\{t\alpha+u\beta | t,u \in \IR \} \subseteq \IC^2[/mm]
>
> definiert.
> Welche Bedingung ist an [mm]\alpha ,\beta[/mm] zu stellen, damit
> [mm]X_\alpha_,_\beta[/mm] ein Untervektorraum
> von dem [mm]\IC[/mm] -Vektorraum [mm]\IC^2[/mm] ist?
> Hallo!
> Ich habe Probleme mit der gestellten Frage.
>
> In der Vorlesung hatten wir folgendes gesagt:
> Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge [mm]W\subseteq[/mm] V heißt
> K-Untervektorraum von V falls:
> 1) [mm]W\not=\emptyset[/mm]
> 2) [mm]v,w\in W\Rightarrow v+w\in[/mm] W
> 3) [mm]v\in W,\lambda \in K\Rightarrow \lambda *v\in[/mm] W
Ja!
> Heißt das im konkreten Fall:
>
> 1) [mm]X_\alpha_,_\beta \not=\emptyset[/mm]
> 2) [mm]x,y\in X_\alpha_,_\beta \Rightarrow x+y\in X_\alpha_,_\beta[/mm]
>
> 3) [mm]x\in X_\alpha_,_\beta,\lambda \in \IC \Rightarrow \lambda*x \in X_\alpha_,_\beta[/mm]
> oder ist [mm]\lambda\in\IC^2?[/mm]
Nein, aus [mm]\IC[/mm], das ist ein Skalar aus dem Körper, über dem der VR betrachtet wird.
>
> Jetzt meine eigentlichen Fragen:
>
> zu 1)
> darf ich [mm]\alpha,\beta[/mm] beispielsweise als Nullvektoren
> wählen und damit zeigen, dass [mm]0\in X_\alpha_,_\beta[/mm] und
> somit [mm]X_\alpha_,_\beta[/mm] nicht leer ist?
Hmm, für [mm]\alpha=\beta=(0,0)[/mm] ist [mm]X_{\alpha,\beta}[/mm] doch [mm]\{(0,0)\}[/mm]
Und das ist offensichtlich ein UVR von [mm]\IC^2[/mm] ...
>
> zu 2)
> Wie zeige ich, dass [mm]x+y\in X_\alpha_,_\beta[/mm] ? Wie sehen
> meine x,y denn überhaupt aus?
> [mm]x=\alpha[/mm] + [mm]i*\beta[/mm]
> [mm]y=\gamma[/mm] + [mm]i*\delta[/mm]
> ?
Nee, [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind aus [mm]\IC^2[/mm], also [mm]\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)[/mm] mit [mm]\alpha_1, \alpha_2\in\IC[/mm], [mm]\beta[/mm] analog
Ein Element [mm]x\in X_{\alpha,\beta}[/mm] sieht also so aus:
[mm]t\alpha+u\beta=t(\alpha_1,\alpha_2)+u(\beta_1,\beta_2)[/mm] mit [mm]t,u\in\IR[/mm]
[mm]=(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)[/mm] ...
> Ich hoffe jemand kann mir helfen!
> Danke und Grüße
>
> MrMuffin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 11.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Danke fürs willkommen heißen!
Mir ist nun nicht klar geworden, ob es legitim ist [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] frei zu wählen, um zu zeigen, dass [mm] X_\alpha_,_\beta :=\{t\alpha+u\beta | t,u \in \IR \} \subseteq \IC^2 [/mm] nicht leer ist.
Anders ausgedrückt: Ich sehe, dass [mm] X_\alpha_,_\beta :=\{t\alpha+u\beta | t,u \in \IR \} \subseteq \IC^2 [/mm] offensichtlich eine Menge darstellt. Und offensichtlich ist diese nicht leer. Aber wie sage ich das im mathematisch korrektem Sinne?
Zu 2)
[mm] x=(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)
[/mm]
[mm] y=(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)
[/mm]
Also ist
[mm] x+y=(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)+(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)
[/mm]
[mm] =2*(t\alpha_1+u\beta_1,t\alpha_2+u\beta_2)\in X_\alpha_,_\beta [/mm] ?
Für mich sieht das irgendwie nicht richtig aus.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 11.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \alpha [/mm] uns [mm] \beta [/mm] sind zwar beliebig, aber fest! d,h, dein [mm] X_{\alpha,\beta} [/mm] hat nur Vektoren
[mm] x_1=t_1\alpha+u_1\beta [/mm] und
[mm] x_2=t_2\alpha+u_2\beta [/mm]
usw.
dass die Menge nicht leer ist kannst du durch bel.Wahl von t,u fesstellen sie enthält ja [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] (für t bzw u=0)
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Sa 11.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Vielen Dank euch Beiden!
Ich werde mich jetzt weiter mit der Aufgabenstellung befassen und mich melden, sobald ich Ergebnisse bzw weitere Fragen habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 12.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Ok.....ich habe die Infos mal sacken lassen und grübele seit einigen Stunden über den dritten Teil der Aufgabe.
Die Skalarmultiplikation [mm] \lambda*x [/mm] soll wiederum in [mm] X_{\alpha,\beta} [/mm] sein.
Da [mm] \lambda\in\IC [/mm] ist kann man [mm] \lambda [/mm] auch so darstellen:
[mm] \lambda=a+i*b
[/mm]
Das Skalarmultiplizieren mit dem Realteil stellt kein Problem dar (denke ich zumindest), doch beim Imaginärteil bin ich mir da nicht so sicher :-(
Angenommen [mm] \lambda=i, [/mm] dann muss
[mm] i*x=i*(t*\alpha+u*\beta)\in X_{\alpha,\beta} [/mm] sein.
Irgendwie hapert es bei mir an dieser Stelle. Ich weiß aus geometrischer sicht, dass die Multiplikation mit i eine Drehung um [mm] \pi/2 [/mm] bewirkt. Folglich laufe ich Gefahr, dass meine Skalarmultiplikation nicht mehr in [mm] X_{\alpha,\beta} [/mm] ist. Oder liege ich hier falsch?
Die einzie Möglichkeit dem zu entgehen, wäre wenn [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] wären.
Dem ganzen traue ich selber nicht so ganz....wäre nett, wenn jemand Klarheit schaffen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:04 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok.....ich habe die Infos mal sacken lassen und grübele
> seit einigen Stunden über den dritten Teil der Aufgabe.
>
> Die Skalarmultiplikation [mm]\lambda*x[/mm] soll wiederum in
> [mm]X_{\alpha,\beta}[/mm] sein.
>
> Da [mm]\lambda\in\IC[/mm] ist kann man [mm]\lambda[/mm] auch so darstellen:
> [mm]\lambda=a+i*b[/mm]
>
> Das Skalarmultiplizieren mit dem Realteil stellt kein
> Problem dar (denke ich zumindest), doch beim Imaginärteil
> bin ich mir da nicht so sicher :-(
>
> Angenommen [mm]\lambda=i,[/mm] dann muss
> [mm]i*x=i*(t*\alpha+u*\beta)\in X_{\alpha,\beta}[/mm] sein.
>
> Irgendwie hapert es bei mir an dieser Stelle. Ich weiß aus
> geometrischer sicht, dass die Multiplikation mit i eine
> Drehung um [mm]\pi/2[/mm] bewirkt. Folglich laufe ich Gefahr, dass
> meine Skalarmultiplikation nicht mehr in [mm]X_{\alpha,\beta}[/mm]
> ist. Oder liege ich hier falsch?
> Die einzie Möglichkeit dem zu entgehen, wäre wenn
> [mm]\alpha=\beta=0[/mm] wären.
So ist es auch ! Annahme: [mm] \alpha \ne [/mm] 0
Es ist [mm] \alpha \in X_{\alpha,\beta} [/mm]
Wenn [mm] X_{\alpha,\beta} [/mm] ein [mm] \IC [/mm] - Vektorraum ist, so ist auch [mm] i\alpha \in X_{\alpha,\beta} [/mm]
Also gibt es ein s [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] $i\alpha [/mm] = s [mm] \alpha$
[/mm]
Da [mm] \alpha \ne [/mm] 0 ist, folgt: s=i, also s [mm] \notin \IR, [/mm] Widerspruch !
Genaso zeigt man [mm] \beta=0
[/mm]
FRED
EDIT: was ich oben geschrieben habe ist nicht richtig, also vergessen !
>
> Dem ganzen traue ich selber nicht so ganz....wäre nett,
> wenn jemand Klarheit schaffen könnte.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:47 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
z. Bsp mit [mm] \alpha=(1,0)\inC^2 \beta=(i,0)
[/mm]
[mm] \lambda=a+ib
[/mm]
hat man [mm] \lambda*(t*\alpha+u*\beta)=t_1*\alpha+u_1*beta
[/mm]
mit [mm] t_1=t*(a-b); u_1= u*(a+b)\inX{\alpha,\beta}
[/mm]
weitere [mm] \alpha,\beta [/mm] nach demselben Muster.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 13.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Ok, nach weiterem Grübeln bin ich auf die folgenden Eigenschaften gestoßen:
Sei [mm] \alpha=\vektor{c+id \\ e+if}, [/mm] dann muss [mm] \beta=\vektor{d-ic \\ f-ie} [/mm] sein. Denn:
[mm] \lambda*(t*\alpha+u*\beta)
[/mm]
[mm] =(a+ib)*(t*\vektor{c+id \\ e+if}+u*\vektor{d-ic \\ f-ie})
[/mm]
[mm] =a*(t*\vektor{c+id \\ e+if}+u*\vektor{d-ic \\ f-ie})+b*(t*\vektor{ic-d \\ ie-f}+u*\vektor{id+c \\ if+e})
[/mm]
[mm] =\underbrace{(a*t+b*u)}_{\in\IR}*\vektor{c+id \\ e+if}+\underbrace{(a*u-b*t)}_{\in\IR}*\vektor{d-ic \\ f-ie}
[/mm]
oder nach Einführen neuer Variablen x,y:
[mm] =x*\vektor{c+id \\ e+if}+y*\vektor{d-ic \\ f-ie}=x*\alpha+y*\beta [/mm] mit [mm] (x*\alpha+y*\beta) \in X_{\alpha,\beta}
[/mm]
Somit ist die Bedingung allgemein aufgestellt und die Aufgabe fertig, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ich mich nicht verrechnet hab gehts noch was allgemeiner:
[mm] \alpha=(z1,z2) \beta=i*r(z1,z2) r\in\IR
[/mm]
deine 2 sind damit natürlich auch richtig, mit r=-1
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mo 13.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Super! Vielen Dank für die Mühe!
Jetzt ist mir so Einiges klarer geworden in Bezug auf Untervektorräume!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Nachdem ich gestern Mist gebaut habe, hier nun eine hoffentlich richtige Lösung.
Sei V ein [mm] \IC [/mm] - Vektorraum, seien x,y [mm] \in [/mm] V und sei
$U:= [mm] \{tx+uy: t,u \in \IR \}$
[/mm]
Die Frage ist, wann ist U ein [mm] \IC [/mm] - Untervektorraum (UR) von V ?
FALL 1: y=0. Dann ist $U:= [mm] \{tx: t \in \IR \}$. [/mm] Ist U ein [mm] \IC [/mm] - UR von V, so ist ix [mm] \in [/mm] U, somit gibt es ein t [mm] \in \IR [/mm] mit: ix=tx. Das geht aber nur, wenn x=0 ist.
Genauso zeigt man: x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0
Fazit: die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) x=0; (ii) y=0; (iii) x=y=0; (iv) [mm] $U=\{0\}$
[/mm]
FALL 2: [mm] $x\ne0\ne [/mm] y$
Behauptung: U ist ein [mm] \IC [/mm] - UR von V [mm] \gdw [/mm] es existiert ein [mm] w\in \IC [/mm] mit:
(*) $x=w*y$ und [mm] $Im(w)\ne [/mm] 0$
Beweis:
1. U sei ein [mm] \IC [/mm] - UR von V . Dann ist ix [mm] \in [/mm] U, also ex. t,u [mm] \in \IR [/mm] mit: ix=tx+uy. Mit $w:= [mm] \bruch{u}{i-t}$ [/mm] gilt dann (*)
2. Es gelte (*). Dann ist $U= [mm] \{(tw+u)y: t,u \in \IR \}$
[/mm]
Betrachtet man die Abbildung [mm] \Phi: \IR^2 \to \IC, [/mm] die definiert ist durch
[mm] $\Phi(t,u):= [/mm] tw+u$,
so sieht man, wegen [mm] Im(w)\ne [/mm] 0, recht einfach, dass [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist.
Wir haben also:
$U= [mm] \{z*y: z \in \IC \}$
[/mm]
Damit ist U ein [mm] \IC [/mm] - UR von V
q.e.d.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 14.12.2010 | | Autor: | MrMuffin |
Super, finde ich übrigens toll, dass du den Ehrgeiz aufgebracht hast eine so ausführliche Lösung vorzustellen!!!!
Besten Dank dafür!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Super, finde ich übrigens toll, dass du den Ehrgeiz
> aufgebracht hast eine so ausführliche Lösung
> vorzustellen!!!!
>
> Besten Dank dafür!
Ebenfalls .
Über solche Rückmeldungen freut man sich.
FRED
>
|
|
|
|
