www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Urbild
Urbild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Urbild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Mi 19.02.2014
Autor: Infoandi

Aufgabe
Gegeben ist die Abbildung f : [mm] \IR^{2} \in \IR^{3} [/mm] mit [mm] f(\vektor{x_{1}\\x_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}. [/mm]

c) Liegen die Vektoren [mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\-1}, w_{2}=\vektor{4\\6\\9} [/mm] im Bild von f ?
Geben Sie gegebenfalls ein Urbild von [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] an.

Guten Tag,

um zu prüfen ob die Vektoren im Bild liegen, muss ich [mm] \pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \vektor{0\\2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}} [/mm] rechnen.
Jedoch geht dies ja garnicht da es eine 3x2 Matrix ist, wenn diese aber transponiere und dann x1,x2 ausrechne kommt da was raus aber beim rückwärts einsetzen komme ich nicht wieder auf w1. Bei w2 ist es das selbe. Aber da noch verlangt wird ein Urbild anzugeben, muss es ja irgendwie für einen von beiden klappen.

Danke für die Hilfe,
Andreas

        
Bezug
Urbild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mi 19.02.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben ist die Abbildung f : [mm]\IR^{2} \in \IR^{3}[/mm]

Du meinst [mm] $\IR^2 \to \IR^3$! [/mm]

>  mit
> [mm]f(\vektor{x_{1}\\x_{2}})[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}.[/mm]
>  
> c) Liegen die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\-1}, w_{2}=\vektor{4\\6\\9}[/mm]
> im Bild von f ?
>  Geben Sie gegebenfalls ein Urbild von [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] an.
>  Guten Tag,
>  
> um zu prüfen ob die Vektoren im Bild liegen, muss ich
> [mm]\pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \vektor{0\\2\\-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}}[/mm] rechnen.

???

>  Jedoch geht dies ja garnicht da es eine 3x2 Matrix ist,
> wenn diese aber transponiere und dann x1,x2 ausrechne kommt
> da was raus aber beim rückwärts einsetzen komme ich nicht
> wieder auf w1. Bei w2 ist es das selbe. Aber da noch
> verlangt wird ein Urbild anzugeben, muss es ja irgendwie
> für einen von beiden klappen.

Du hast da irgendwie "einiges durcheinander geworfen":
Um zu gucken, ob etwa

    [mm] $w_1$ [/mm]

im Bild von [mm] $f\,$ [/mm] liegt, musst Du prüfen:
Gibt es (mindestens) einen Vektor

   [mm] $\vektor{a\\b} \in \IR^2$ [/mm]

mit

    [mm] $f(\vektor{a\\b})=w_1\,.$ [/mm]

Das führt zu der (Matrix-Vektor) Gleichung

    [mm] $\pmat{1&1\\1&-1\\2&1} \cdot \vektor{a\\b}=\vektor{0\\2\\-1}\,.$ [/mm]

Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in den zwei reellen
Variablen [mm] $a,b\,,$ [/mm] das Du quasi nun "auf Lösbarkeit" untersuchen sollst.
(D.h. Du musst rausfinden, ob es lösbar ist oder nicht!)

Kommst Du damit klar?

(Falls ja, so wird Dir auch die Aufgabe mit [mm] $w_2$ [/mm] nun klar(er) sein, oder?)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Urbild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Mi 19.02.2014
Autor: Infoandi

Stimmt :x
wird Zeit für heute Schluss zu machen. Das lustige ist, ich hatte so auch angefangen, hatte für [mm] w_{1} [/mm] kein Ergebnis, da für b zwei verschiedene Werte raus kamen und bei [mm] w_{2} [/mm] sahen die letzten beiden Zeile identisch zu den von [mm] w_{1} [/mm] aus, daher dachte ich sofort, dass es auch nicht gehen wird. Aber das kleine Vorzeichen macht eben den Unterschied.

[mm] w_{1} [/mm] ist nicht im Bild
[mm] w_{2} [/mm] liegt im Bild und das Urbild ist [mm] \vektor{5\\-1} [/mm]

danke für deine Hilfe und einen schönen Abend noch.
Andreas

Bezug
                        
Bezug
Urbild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:19 Do 20.02.2014
Autor: Marcel

Hallo Andi,

> Stimmt :x
>  wird Zeit für heute Schluss zu machen. Das lustige ist,
> ich hatte so auch angefangen, hatte für [mm]w_{1}[/mm] kein
> Ergebnis, da für b zwei verschiedene Werte raus kamen und
> bei [mm]w_{2}[/mm] sahen die letzten beiden Zeile identisch zu den
> von [mm]w_{1}[/mm] aus, daher dachte ich sofort, dass es auch nicht
> gehen wird. Aber das kleine Vorzeichen macht eben den
> Unterschied.
>  
> [mm]w_{1}[/mm] ist nicht im Bild
>  [mm]w_{2}[/mm] liegt im Bild und das Urbild ist [mm]\vektor{5\\-1}[/mm]

das sieht gut aus.
  

> danke für deine Hilfe und einen schönen Abend noch.
>  Andreas

Gerne!

P.S. Nur zur Info: Zum einen hätte es durchaus sein können, dass Du
mehr als einen Vektor erhältst (natürlich nicht in diesem konkreten
Fall, sondern sowas kann bei anderen Aufgaben mit gleicher Aufgabenstellung
halt vorkommen). Ist Dir das klar?

Deine Lösung für [mm] $w_2$ [/mm] habe ich einfach nachgerechnet, ich guck auch
gerade mal bei [mm] $w_1$ ($a,b\,$ [/mm] sind NICHT die gleichen wie bei [mm] $w_2$): [/mm]

    [mm] $a+b=0\,$ [/mm] und [mm] $a-b=\,0$ [/mm] liefert sofort [mm] $2a=0\,,$ [/mm]

damit [mm] $a=b=0\,.$ [/mm]

Allerdings ist dann

    [mm] $2*a+b=-1\,$ [/mm]

gleichwertig mit

    [mm] $2*0+0=-1\,,$ [/mm]

was offensichtlich falsch ist.

Also in der Tat: [mm] $f^{-1}(\{w_1\})=\varnothing.$ [/mm]

P.P.S. Bei Deiner Aufgabe reicht es auch

    [mm] $\vektor{5\\-1} \in f^{-1}(\{w_2\})$ [/mm]

zu schreiben, auch, wenn Du wohl

    [mm] $\left\{\vektor{5\\-1}\right\}$ $=\,$ [/mm] $ [mm] f^{-1}(\{w_2\})$ [/mm]

nachgerechnet hast.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]