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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 11.09.2010 | | Autor: | selinaCC |
| Aufgabe | Seien X,Y Mengen und f:X /to Y eine Abbildung. Für A [mm] \subset [/mm] Y heißt die Menge f^-1(A) := [mm] \{ x \in X | f(x) \in A \} [/mm] das Urbild von A unter f. Für beliebige Teilmengen A, B [mm] \subset [/mm] Y zeige man:
a) Aus A [mm] \subset [/mm] B folgt f^-1(A) [mm] \subset [/mm] f^-1(B)
b) [mm] f^-1(A^C) [/mm] = Cf^-1(A) wobei C=Komplement
c) f^-1(A/B) = f^-1(A) / f^-1(B) |
Hallo ihr Lieben,
ich habe Fragen zu obiger Übungsaufgabe!
Und zwar habe ich schon etwas gemacht, bin mir aber nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe! Es wäre nett, wenn jemand einen Blick darüber werfen könnte und mir ggf. helfen könnte es zu verbessern...
Also meine Lösungen:
zur a)
y [mm] \in [/mm] f^-1(A)
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A mit y=f^-1(x)
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B mit y=f^-1(x), da [mm] A\subsetB
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \exists [/mm] f^-1(B)
zur b)
f^-1 [mm] (A^C) [/mm] := [mm] \{ x \in X | f(x) \in Y \wedge f(x) \not\in A \}
[/mm]
[mm] \lambda \in [/mm] f^-1(CA)
[mm] \gdw \lambda \in \{ x \in X | f(x) \in Y \wedge f(x) \not\in A \}
[/mm]
[mm] \gdw f(\lambda) \in [/mm] CA
[mm] \gdw [/mm] f( [mm] \lambda [/mm] ) [mm] \in [/mm] Y [mm] \wedge f(\lambda) \in [/mm] A
[mm] \gdw \lambda \in \{ x \in X | f(x) \in Y \}\wedge \lambda \in \{ x \in X | f(x) \not\in A \}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda \in [/mm] f^-1(Y) [mm] \wedge \lambda \not\in [/mm] f^-1(A)
[mm] \gdw \lambda \in [/mm] Cf^-1(A)
zur c)
f^(-1)(A \ B) := [mm] \{ x \in X | f(x) \in A \wedge f(x) \not\in B \}
[/mm]
[mm] \lambda \in f^-1(A\B)
[/mm]
[mm] \gdw \lambda \in \{ x \in X | f(x) \in A \wedge f(x) \not\in B \}
[/mm]
[mm] \gdw f(\lambda) \in A\B
[/mm]
[mm] \gdw f(\lambda) \in [/mm] A [mm] \wedge f(\lambda) \not\in [/mm] B
[mm] \gdw \lambda \in \{ x \in X | f(x) \in A \} \wedge \lambda \in \{ x \in X | f(x) \not\in B \}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda \in [/mm] f^-1(A) [mm] \wedge \lambda \not\in [/mm] f^-1(B)
[mm] \gdw \lambda \in [/mm] f^-1(A) \ f^-1(B)
Wäre wirklich nett, wenn mir jemand feedback geben könnte!
Grüße Selina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> zur a)
> y [mm]\in[/mm] f^-1(A)
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A mit y=f^-1(x)
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B mit y=f^-1(x), da [mm]A\subset B[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\exists[/mm] f^-1(B)
Richtig. =)
> zur b)
> A:= [mm]\{ x \in X | f(x) \in Y \wedge f(x) \not\in A \}[/mm]
???
Nach Voraussetzung ist [mm] $A\subset [/mm] Y$, warum definierst Du jetzt hier ein A, das aus Elementen aus $X$ besteht? Und wieso dann [mm] $f(x)\notin [/mm] A$?
Sagen wir X sind Kanji und Y Wingdings, dann definierst Du eine Menge von Kanji, und zwar all jene Kanji, deren durch f zugeordnetes Wingding auch ein Kanji ist, also keins.
Und [mm] $f(x)\in [/mm] Y$ ist unnötig. $f:\ [mm] X\to [/mm] Y$, also ist jedes f(x) in Y.
Ich nehm hier einfach mal an, daß Du an der Stelle [mm] $f^{-1}(A^c)$ [/mm] definieren wolltest. Nur zieht sich diese Schlamperei (ist es ein A? Ist es ein [mm] $A^c$? [/mm] Ein [mm] f^{-1}(A^c)?) [/mm] durch den gesamten Beweis.
> zur c)
wie b)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 12.09.2010 | | Autor: | selinaCC |
Hallo Stefan,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Heißt das also, das ich nur die Definition ändern muss, also
[mm] \(f^{-1}(A^C) [/mm] := [mm] \{x \in X | \(f(x) \in Y \wedge \(f(x) \not\in A \} [/mm] bei Aufgabe b)
und
[mm] \(f^{-1}(A/B) [/mm] := [mm] \{x \in X | \(f(x) \in A \wedge \(f(x) \not\in B \} [/mm] bei Teilaufgabe c) ? Versteh ich das richtig?
Leider sehe ich nicht an welchen Stellen sich meine Schlamperei durch den Beweis zieht!
Liebe Grüße
Selina
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Hallo,
> Hallo Stefan,
> erstmal vielen Dank für deine Antwort!
> Heißt das also, das ich nur die Definition ändern muss,
> also
>
> [mm]\(f^{-1}(A^C)[/mm] := [mm]\{x \in X | \(f(x) \in Y \wedge \(f(x) \not\in A \}[/mm]
Ja, wobei du [mm]f(x)\in Y[/mm] auch weglassen kannst:
[mm]f^{-1}\left(A^C\right)=\{x\in X\mid f(x)\in A^C\}=\{x\in X\mid f(x)\not\in A\}[/mm]
> bei Aufgabe b)
>
> und
>
> [mm]\(f^{-1}(A/B)[/mm] := [mm]\{x \in X | \(f(x) \in A \wedge \(f(x) \not\in B \}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei Teilaufgabe c) ? Versteh ich das richtig?
Das Zeichen für Differenzmenge ist \setminus
A\setminus B ergibt also [mm]A\setminus B[/mm]
>
> Leider sehe ich nicht an welchen Stellen sich meine
> Schlamperei durch den Beweis zieht!
Na, bei b) willst du doch zeigen [mm]\lambda\in f^{-1}\left(A^C\right)\gdw \lambda\in\left(f^{-1}(A)\right)^C[/mm]
Du beginnst aber mit [mm]\lambda\in f^{-1}(A)[/mm] und formst um in [mm]\lambda\in\left(f^{-1}(A)\right)^C[/mm]
Das ist nicht zu zeigen ...
Außerdem schickst du eine sehr sehr merkwürdige, nicht zu sagen unsinnige, Definition der Menge [mm]A[/mm] voraus.
>
> Liebe Grüße
> Selina
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 12.09.2010 | | Autor: | selinaCC |
danke für die Antwort!
Ich habe das falsch von meinem Blatt abgeschrieben, das muss [mm] \lambda\in f^{-1}(A^C) [/mm] heißen und bei der "merkwürdigen" Definition hatte ich einen Fehler, das muss dann heißen:
[mm] f^{-1}\left(A^C\right)=\{x\in X\mid f(x)\in A^C\}=\{x\in X\mid f(x)\not\in A\}, [/mm] wie du ja selbst gesagt hast. Also nicht der Menge A, wie ich es anfänglich hatte, sondern des Urbildes.
Wenn ich diese beiden Dinge verbessert habe, stimmt es doch dann oder???
Ist bei der c) dann mit der vorangestellten, verbesserten Definition dann auch alles okay?
Danke und Gruß v. Selina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wenn wir mal das ganze Rumgeschiebe mit [mm] $f(x)\in [/mm] Y$ weglassen (das wie schon geschrieben unnötig ist), die Schreibfehler ausbessern (in b und c stehen da plötzlich [mm] $f(\lambda)\in [/mm] A$, die sicher nicht hingehören) und eine einheitliche Schreibweise einführen, die ein normaler Mensch lesen kann, dann hast Du völlig richtig geschrieben:
$ [mm] \lambda \in f^{-1}(A^c)$
[/mm]
$ [mm] \gdw \lambda \in \{ x \in X | f(x) \in A^c \} [/mm] $
$ [mm] \gdw f(\lambda) \in A^c$
[/mm]
$ [mm] \gdw f(\lambda) \notin [/mm] A$
$ [mm] \gdw \lambda \not\in \{ x \in X | f(x) \in A \} [/mm] $
$ [mm] \gdw \lambda \not\in f^{-1}(A)$
[/mm]
$ [mm] \gdw \lambda \in \left(f^{-1}(A)\right)^c [/mm] $
Wobei ich's mir erlaubt habe, zwei Zeilen einzufügen, die Du vielleicht so gemeint, aber sicher nicht so geschrieben hast.
[mm] $f(\lambda) \notin [/mm] A [mm] \gdw \lambda \not\in \{ x \in X | f(x) \in A \} [/mm] $
könnte man vielleicht noch näher erläutern, hängt vom Korrektor ab.
Insgesamt ist Dein Beweis richtig (bzw. meine Interpretation davon), das größte Problem ist das [mm] $\lambda \in \{ x \in X | f(x) \not\in A \} [/mm] $ bei Dir, hier willst Du [mm] $\lambda \not\in \{ x \in X | f(x) \in A \} [/mm] $, denn das andere stand schon in der ersten Zeile und hilft uns nicht weiter.
Nochmal: Sauberer schreiben, weniger schlampen. =)
ciao
Stefan
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