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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 10.01.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | | Welche der drei Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv ist notwendig und hinreichend dafür, dass [mm] $f^{-1}(f(C))\subseteq [/mm] C$? Beweisen Sie Ihre Aussage. |
Hallo zusammen
Irgendwie habe ich Mühe, das zu durchschauen.
Also was mir klar ist, bijektiv ist zu stark, denn wenn die Funktion bijektiv wärde, dann wäre ja [mm] $f^{-1}(f(C))=C$.
[/mm]
Ich hätte jetzt darauf getippt, dass injektiv notwendig und hinreichend ist. Denn:
Notwendig, weil wenn die Funktion nicht injektiv wäre, dann kann es $a [mm] \in [/mm] C$ und $ b [mm] \not\in [/mm] C$ geben, so dass aber $f(a)=f(b)$. Und entsprechend wäre dann [mm] $f^{-1}(f(a))=\{a, b\} \not\subseteq [/mm] C$.
Hinreichend, weil gilt $a [mm] \not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)$. Also gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] f(C)$ entweder [mm] $f^{-1}(x) \in [/mm] C$ oder [mm] $f^{-1}(x)= \emptyset$. [/mm]
Nur zum Teil "Hinreichend": Eigentlich gilt ja für des gewählte x, dass es auch ein Element w im Urbild gibt, also wäre ja dann eigentlich wiederum nicht [mm] $f^{-1}(f(C))\subseteq [/mm] C$, sondern gar [mm] $f^{-1}(f(C)) [/mm] = C$.
Irgendwie ist das verwirrend...  Oder verstehe ich schlicht und einfach etwas nicht? 
Viele Grüsse
Lukas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgabe ist schlampig formuliert, oder Du hast sie schlampig abgeschrieben.
Ich nehme an, die Aufgabe lautet so:
Sei f:A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Welche der drei Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv ist notwendig und hinreichend dafür, dass $ [mm] f^{-1}(f(C))\subseteq [/mm] C $ ist für jede Teilmenge C von A ?
Wenn es so ist, wie ich vermute, so zeige:
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] $ [mm] f^{-1}(f(C))\subseteq [/mm] C $ ist für jede Teilmenge C von A
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 10.01.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo Fred
Danke für deine Antwort - jetzt bin ich aber erstaunt, die Aufgabe steht so 1:1 in einer alten Basisprüfung und ist auch nicht nur Teilaufgabe oder so ...
Wenn ich jetzt von deiner angepassten Aufgabenstellung ausgehe, dann zeige ich zuerst
[mm] '\Rightarrow': [/mm] Also sei f injektiv, eine beliebige Teilmenge $C [mm] \subseteq [/mm] A$ sowie ein beliebiges Element $c [mm] \in [/mm] C$ gegeben.
Da f injektiv ist, gilt nun, dass es genau ein a [mm] \in [/mm] A gibt, so dass $f(a) = f(c)$, und das ist natürlich c selber. Also ist auch die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}(f(c))=c \in [/mm] C$ eindeutig bestimmt. Und da c beliebig gewählt ist, gilt somit [mm] $f^{-1}(f(C)) \subseteq [/mm] C$
[mm] '\Leftarrow': [/mm] (indirekter Beweis) Wäre f nicht injektiv, dann gäbe es $a, b [mm] \in [/mm] A$, so dass $a [mm] \not= [/mm] b$ und $f(a) = f(b)$. Wählt man nun als Teilmenge C die Menge [mm] $\{a\}$, [/mm] so ist [mm] $f^{-1}(f(a)) [/mm] = [mm] \{a, b\} \not\subseteq [/mm] C$. Also ist f injektiv.
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Danke für deine Antwort - jetzt bin ich aber erstaunt, die
> Aufgabe steht so 1:1 in einer alten Basisprüfung und ist
> auch nicht nur Teilaufgabe oder so ...
Es gibt auch schlampige Aufgabensteller....
>
> Wenn ich jetzt von deiner angepassten Aufgabenstellung
> ausgehe, dann zeige ich zuerst
>
> [mm]'\Rightarrow':[/mm] Also sei f injektiv, eine beliebige
> Teilmenge [mm]C \subseteq A[/mm] sowie ein beliebiges Element [mm]c \in C[/mm]
> gegeben.
> Da f injektiv ist, gilt nun, dass es genau ein a [mm]\in[/mm] A
> gibt, so dass [mm]f(a) = f(c)[/mm], und das ist natürlich c selber.
> Also ist auch die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(f(c))=c \in C[/mm]
> eindeutig bestimmt. Und da c beliebig gewählt ist, gilt
> somit [mm]f^{-1}(f(C)) \subseteq C[/mm]
Das gefällt mir nicht.
Sei x [mm] \in[/mm] [mm]f^{-1}(f(C)) [/mm]. Dann ist f(x) [mm] \in [/mm] f(C). Somit gibt es ein c [mm] \in [/mm] C mit f(x)=f(c). Da f injektiv ist, folgt: x=c [mm] \in [/mm] C.
> [mm]'\Leftarrow':[/mm] (indirekter
> Beweis) Wäre f nicht injektiv, dann gäbe es [mm]a, b \in A[/mm],
> so dass [mm]a \not= b[/mm] und [mm]f(a) = f(b)[/mm]. Wählt man nun als
> Teilmenge C die Menge [mm]\{a\}[/mm], so ist [mm]f^{-1}(f(a)) = \{a, b\} \not\subseteq C[/mm].
Auch das gefällt mir nicht.
Es ist [mm] \{a,b\} \subseteq[/mm] [mm]f^{-1}(\{f(a)\}) \not\subseteq \{a\}[/mm]
FRED
> Also ist f injektiv.
>
> Viele Grüsse
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