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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Sa 09.03.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Sei f: Q->W eine Abbildung zwischen beliebigen Mengen.
Sei A [mm] \subseteq [/mm] Q
Zeige A [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (f(A))
Gleichheit falls f injektiv


Hallo zusammen. Wenn es eine inverse gibt, bedeutet dass nicht automatisch, dass f bijektiv ist?

a [mm] \in [/mm] A
<=> [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] W : f(a)=y
darf ich nun [mm] f^{-1} [/mm] auf die gleichung anwenden?
<=> [mm] f^{-1} [/mm] (f(a))= [mm] f^{-1} [/mm] (y)

        
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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Sa 09.03.2013
Autor: Diophant

Hallo,

betrachte einmal die Funktion f(x)=arctan(x) als 'Umkehrfunktion' der Tangensfunktion. Diese Funktion ist, so lange man sie als Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] auffasst, injektiv aber nicht surjektiv. Erst wenn man die Bildmenge auf [mm] \left(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] einschränkt, ist sie auch surjektiv und damit bijektiv, ihre Umkehrfunktion ist dann der Tangens auf dem Intervall [mm] \left(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right). [/mm] Um diese Problematik geht es hier, vielleicht hilft dir dieses anschauliche Beispiel ja schon weiter.


Gruß, Diophant

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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Sa 09.03.2013
Autor: theresetom

Hallo,
Danke das hilft mir im Verständnis weiter.
Jedoch bin ich noch immer ratlos wie der beweis funktioniert..

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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Sa 09.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Hallo,
>  Danke das hilft mir im Verständnis weiter.
>  Jedoch bin ich noch immer ratlos wie der beweis
> funktioniert..

Mit dem [mm] $f^{-1}$ [/mm] in der Aufgabenstellung ist nicht die Umkehrfunktion, sondern das Urbild gemeint. Ist $f:Q [mm] \to [/mm] W$ eine Funktion, so für $B [mm] \subset [/mm] W$:

[mm] $f^{-1}(B) [/mm] := [mm] \{x \in Q:f(x) \in B\}$. [/mm]

Dieser "Operator" kann also auch für nicht bijektive Funktionen definiert werden. Demzufolge funktioniert dein Beweis oben nicht so, weil es ja gar keine Umkehrfunktion gibt.

Sei $A [mm] \subset [/mm] Q$.

Z.z. $A [mm] \subset f^{-1}(f(A))$. [/mm]

Für den Beweis nimm ein Element aus der linken Menge und zeige, dass es in der rechten ist. Schreibe dazu als erstes [mm] $f^{-1}(f(A))$ [/mm] mit Hilfe der obigen Def. aus.



Viele Grüße,
Stefan

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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Sa 09.03.2013
Autor: theresetom

Hallo,
danke für die Antwort:
[mm] x\in [/mm] A
zZ.: x [mm] \in f^{-1} [/mm] (f(A))= [mm] \{ x \in Q : f(x) \in f(A) \} [/mm]

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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 So 10.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


>  [mm]x\in[/mm] A
>  zZ.: x [mm]\in f^{-1}[/mm] (f(A))= [mm]\{ x \in Q : f(x) \in f(A) \}[/mm]

Genau.
Und im Grunde ist das schon der Beweis.

Wenn $x [mm] \in [/mm] A$, dann ist $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$   ( denn  $f(A) := [mm] \{f(x): x \in A\}$ [/mm]  )
Also $x [mm] \in f^{-1}(f(A))$. [/mm]



Viele Grüße,
Stefan

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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 So 10.03.2013
Autor: theresetom

Hallo nochmal.
f(x) [mm] \in [/mm] f(A) <=> x [mm] \in f^{-1} [/mm] (f(A))
Ist doch eine äquivalenzumformung?

[mm] x\in [/mm] A => f(x) [mm] \in [/mm] f(A)
Geht nur in die eine Richtung denke ich? Aber wenn f injektiv  dann ist auch die andere Richtung korrekt?

LG

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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 So 10.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Hallo nochmal.
>  f(x) [mm]\in[/mm] f(A) <=> x [mm]\in f^{-1}[/mm] (f(A))

>  Ist doch eine äquivalenzumformung?

Ja. Das sieht man direkt, wenn man die rechte Seite ausschreibt (s.o.)

> [mm]x\in[/mm] A => f(x) [mm]\in[/mm] f(A)
>  Geht nur in die eine Richtung denke ich? Aber wenn f
> injektiv  dann ist auch die andere Richtung korrekt?

Richtig! [ok]
Beispiel: $f(x) = [mm] x^2$, [/mm] $A = [mm] \{2\}$, [/mm] $x = -2$

Viele Grüße,
Stefan

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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:23 So 10.03.2013
Autor: theresetom

Danke.
Ich hab noch ein ähnliches Bsp.:
Sei B [mm] \subseteq [/mm] W.
Zeige [mm] f(f^{-1} [/mm] (B)) [mm] \subseteq [/mm] B (gleichheit bei surj)


y [mm] \in f(f^{-1} [/mm] (B))  = [mm] f(\{ x \in Q : f(x) \in B \}) [/mm]
<=> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] Q mit f(x) [mm] \in [/mm] B sodass y= f(x)
Ich grüble da schon eine weile.., wie das am besten funktonieren könnte

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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 So 10.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


>  Ich hab noch ein ähnliches Bsp.:
>  Sei B [mm]\subseteq[/mm] W.
>  Zeige [mm]f(f^{-1}[/mm] (B)) [mm]\subseteq[/mm] B (gleichheit bei surj)


> y [mm]\in f(f^{-1}[/mm] (B))  = [mm]f(\{ x \in Q : f(x) \in B \})[/mm]
>  <=>

> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] Q mit f(x) [mm]\in[/mm] B sodass y= f(x)

[ok]
Es steht doch jetzt schon da!

$y = f(x) [mm] \in [/mm] B$

Also $y [mm] \in [/mm] B$.

----

Für die Rückrichtung beginne mit $y [mm] \in [/mm] B$. Wenn $f$ surjektiv ist, gibt es $x [mm] \in [/mm] Q$ mit $y = f(x)$. Dann ist $x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset$ [/mm] ...

und somit $y = f(x) [mm] \in [/mm] ...$


Viele Grüße,
Stefan

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Urbild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:03 So 10.03.2013
Autor: theresetom

Hallo
Also lautet es eigentlich richtig:

> y [mm] \in f(f^{-1} [/mm]  (B))  =  [mm] f(\{ x \in Q : f(x) \in B \}) [/mm]

=>

>  [mm] \exists [/mm]  x  [mm] \in [/mm]  Q mit f(x)  [mm] \in [/mm]  B sodass y= f(x)
>  y = f(x) [mm] \in [/mm] B
> Also  y [mm] \in [/mm] B .

Sonst wären die ja nur Äquivalenzumformungen.
Aber ist da nicht ein "=" Zeichen in der Definition der  menge?? Also wieso gilt nur die eine Richtung , wenn die rechte menge [mm] f(f^{-1} [/mm]  (B))  doch so definiert ist, dass beide richtungen gelten?


Rückrichtung:
y [mm] \in [/mm] B . Wenn f surjektiv ist, gibt es x [mm] \in [/mm] Q mit  y = f(x) .  Dann ist  x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1} \{y \in W: \exists x \in Q mit f(x)=y \} [/mm] = [mm] f^{-1} \{f(x)| mit x \in Q \} [/mm]



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Urbild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 So 10.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo theresetom,


>  Also lautet es eigentlich richtig:
>  
> > y [mm]\in f(f^{-1}[/mm]  (B))  =  [mm]f(\{ x \in Q : f(x) \in B \})[/mm]
> =>
>  
> >  [mm]\exists[/mm]  x  [mm]\in[/mm]  Q mit f(x)  [mm]\in[/mm]  B sodass y= f(x)

>  >  y = f(x) [mm]\in[/mm] B
> > Also  y [mm]\in[/mm] B .

Nein, oben gilt sogar "<=>".
Genau so ist [mm] $f(f^{-1}(B))$ [/mm] definiert.

Der Punkt ist, dass die Umformung DANACH keine Äquivalenzumformung ist:
Es gilt nur

$y =f(x) [mm] \in [/mm] B$ [mm] \Rightarrow [/mm] $y [mm] \in [/mm] B$,

nicht die Rückrichtung. Die gilt nur bei Surjektivität.


> Sonst wären die ja nur Äquivalenzumformungen.
>  Aber ist da nicht ein "=" Zeichen in der Definition der  
> menge?? Also wieso gilt nur die eine Richtung , wenn die
> rechte menge [mm]f(f^{-1}[/mm]  (B))  doch so definiert ist, dass
> beide richtungen gelten?

Ist sie nicht.
Guck dir nochmal das Anfangsbeispiel an. $f(x) = [mm] \arctan(x)$, [/mm] $B = [mm] \IR$. [/mm] Dann ist [mm] $f(f^{-1}(B)) [/mm] = [mm] ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \not= \IR [/mm] = B$.


> Rückrichtung:
>  y [mm]\in[/mm] B . Wenn f surjektiv ist, gibt es x [mm]\in[/mm] Q mit  y =
> f(x) .  Dann ist  x [mm]\in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1} \{y \in W: \exists x \in Q mit f(x)=y \}[/mm]
> = [mm]f^{-1} \{f(x)| mit x \in Q \}[/mm]

Das sieht seht kompliziert aus. Ich wollte sehen:

$x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \subset f^{-1}(B)$. [/mm]

Also

$f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B))$. [/mm]

Viele Grüße,
Stefan

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