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| Aufgabe | $k$ nummerierte Kugeln werden rein zufällig auf $n$ nummerierte Zellen verteilt. Geben Sie ein diskretes Zufallsexperiment [mm] $(\Omega, \mathbb{P})$ [/mm] an, stellen Sie die folgenden Ereignisse als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] dar, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:
a) Die Kugel $k$ ist in der Zelle $k$, $1 [mm] \leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n$;
b) in Zelle $n$ sind genau 3 Kugeln, $k [mm] \geq [/mm] 3$;
c) wenigstens eine Zelle ist mit 2 Kugeln belegt, $k [mm] \geq [/mm] 2$;
d) wenigstens eine Zelle ist leer $k [mm] \geq [/mm] n$ (Siebformel). |
Hey ihr...
noch ein paar Fragen:
Meine Modellierung:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1, \ldots, n \}^k$
[/mm]
[mm] $\mathbb{P}(\{\omega\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^k}$; $\forall \omega \in \Omega$, [/mm] Laplace
[mm] $\omega [/mm] = [mm] (\omega_1, \ldots, \omega_k)$
[/mm]
bei a) und b) hab ich keine Probleme.
zu c)
Meine Teilmenge:
$C = [mm] \{ \omega \in \Omega | \existis 1 \leq i,j \leq k, i \neq j: \omega_i = \omega_j \}$
[/mm]
Da es umständlich ist, die Kardinalität der Menge zu berechnen, betrachte ich die Komplementärmenge:
[mm] $C^c [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega | \forall 1 \leq i,j \leq k, i \neq j: \omega_i \neq \omega_j \}$
[/mm]
Dazu muss ja gelten: $2 [mm] \leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n$.
Aber wie ich jetzt auch davon die Kardinalität berechne, weiß ich grad nicht...
Es müsste ja sein:
[mm] $|C^c| [/mm] = [mm] (n)_k [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!}$
[/mm]
Also
[mm] $\mathbb{P}(C) [/mm] = 1 - [mm] \mathbb{P}(C^c) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{(n)_k}{n^k}$
[/mm]
Bei d) scheiters schon an der Modellierung. Ich habe mir bisher das überlegt:
$D = [mm] \{ \omega \in \Omega | \{1, \ldots, n \} \backslash \{\omega_1, \ldots, \omega_k \} \neq \emptyset \}$.
[/mm]
Nun komme ich aber gar nicht weiter und weiß auch nicht, wie ich die Siebformel anwenden soll! :(
Kann mir jemand weiter helfen??
Danke für eure Hilfe.
Gruß, Julia
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 06.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Fr 11.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey!
Ich hab mir das bei d) jetzt so überlegt:
$D = \bigcup \limits_{i=1}^n D_i$
mit $D_i :=$ die $i$-te Zelle ist leer
$D_i = \{ \omega \in \Omega | \forall 1 \le i \le k: \omega_i \in \{ 1, \ldots, n \} \backslash \{i\} \}$
$|D_i| = (n-1)^k$
$\mathbb{P}(D_i) = \bruch{(n-1)^k}{n^k}$
Somit gilt:
$\mathbb{P}(D) \overset{Siebformel}{=} \summe_{i=1}^n (-1)^{r-1} \summe_{1 \le i_1 < ... < i_n \le n} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j=1}^n D_{j_i} \right)$
Jetzt komm ich nicht weiter.
Da die Ereignisse ja nicht unabhängig sind (oder?), gilt ja nicht $ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n D_i} \right) = \produkt_{i=1}^n \mathbb{P} (D_i)$
Wie kann ich also weiter rechnen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also zur c) erst einmal:
Das Gegenereignis ist ja "In jeder Zelle ist höchstens eine Kugel". Ein dazugehöriges Ereignis kann man sich als n-Tupel vorstellen, in dem k einsen und n-k nullen stehen, wobei eine 1 an der i-ten Stelle heißt, dass in der i-ten Zelle genau eine Kugel liegt (0 an der j-ten Stelle heißt, dass in der j-ten Zelle nichts liegt).
Wie viele dieser n-Tupel gibt es?
Alternative Sichtweise (vielleicht besser passend zu deinem Ursprungsmodell):
Du suchst alle k-Tupel, die k verschiedene Elemente aus [mm] \{1,...,n\} [/mm] haben, wie du auch schon in Formeln geschrieben hast [mm] (C^c).
[/mm]
Das heißt aber auch nur, dass du dir ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge k Zahlen aus n ziehst. Auf wie viele Arten geht das? Deine Lösung ist schon fast richtig, aber ein kleiner Fehler ist da noch.
Beide Sichtweisen führen zum selben Ergebnis.
Zur d)
Du musst hier nicht mit Unabhängigkeit argumentieren. Stattdessen kannst du Sachen wie [mm] $P(D_1 \cap D_2)$ [/mm] explizit ausrechnen! Das geht ähnlich einfach wie bei [mm] $P(D_1)$ [/mm] z.B.
Bei der Siebformel ist auch irgendwas in deinem Beitrag schief gegangen, aber wenn du sie dir nochmal im Skript (oder Wikipedia) anguckst, kriegst du die Aufgabe dann sicher hin!
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