Urnenproblem mit zurücklegen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Mi 27.05.2015 | | Autor: | pollock |
Wir haben 52 Bälle, nummeriert von 1 bis 52. Es gibt zwei Ziehungen mit zurücklegen. Die Chance bei der ersten Ziehung 0,1,...,8 Bälle zu ziehen ist [mm] p_0,p_1,...,p_8; [/mm] die Chance bei der zweiten Ziehung 0,1,...,8 Bälle zu ziehen ist [mm] q_0,q_1,...,q_8. [/mm] Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 0,1,....,8 gleiche Bälle in beiden Ziehungen gezogen werden?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://math.stackexchange.com/questions/1300371/urn-problem-with-replacement-where-the-amount-of-balls-drawn-is-random
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Hallo pollock, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir gehen hier anders vor. Wir beraten Dich gern beim Finden des richtigen Lösungswegs, aber Du selbst musst ihn gehen.
Erst einmal wirft aber die Aufgabe noch Fragen auf. Ist das die vollständige Aufgabenstellung?
> Wir haben 52 Bälle, nummeriert von 1 bis 52. Es gibt zwei
> Ziehungen mit zurücklegen. Die Chance bei der ersten
> Ziehung 0,1,...,8 Bälle zu ziehen ist [mm]p_0,p_1,...,p_8;[/mm]
Da fängts schon an. Wie hat man sich das vorzustellen? Ich tauche blind ein Litermaß in die Bälle und schaue nach dem Herausnehmen, wieviele darin sind, notiere die Nummern und lege die gezogenen Bälle wieder zurück?
> die Chance bei der zweiten Ziehung 0,1,...,8 Bälle zu ziehen
> ist [mm]q_0,q_1,...,q_8.[/mm] Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> 0,1,....,8 gleiche Bälle in beiden Ziehungen gezogen
> werden?
Wenn die Deutung oben stimmt, dann brauchst Du hier also eine Angabe für die 9 gefragten Werte, die ich mal mit [mm] r_0,r_1,...,r_8 [/mm] bezeichne.
Ich gebe Dir trotzdem schonmal die Kontrolllösung für diese Deutung:
[mm] r_n=\br{p_n*q_n}{\vektor{52\\n}}
[/mm]
Wenn die Aufgabe anders zu verstehen ist, wird sie auch eine andere Lösung haben. Also erstmal: klären.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://math.stackexchange.com/questions/1300371/urn-problem-with-replacement-where-the-amount-of-balls-drawn-is-random
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mi 27.05.2015 | | Autor: | pollock |
Also die Werte für p und q habe ich
p:
0 8,29%
1 20,68%
2 23,58%
3 22,18%
4 14,19%
5 6,49%
6 2,80%
7 1,80%
8 0,00%
q:
0 7,19%
1 18,78%
2 22,28%
3 22,18%
4 14,29%
5 8,99%
6 3,90%
7 2,40%
8 0,00%
Ich weiß jetzt nur nicht wie man die Wahrscheinlichkeit von z. Bsp. einer Überlappung berechnet. Wenn ich beim erstem Mal 6 ziehe und beim zweitem Mal 5 was ist da die Wahrscheinlichkeit genau eine Überlappung und nicht mehr zu haben?
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Hallo pollock,
das klärt aber leider noch nichts.
> Also die Werte für p und q habe ich
Woher? Waren die gegeben?
> p:
> 0 8,29%
> 1 20,68%
> 2 23,58%
> 3 22,18%
> 4 14,19%
> 5 6,49%
> 6 2,80%
> 7 1,80%
> 8 0,00%
>
> q:
> 0 7,19%
> 1 18,78%
> 2 22,28%
> 3 22,18%
> 4 14,29%
> 5 8,99%
> 6 3,90%
> 7 2,40%
> 8 0,00%
>
> Ich weiß jetzt nur nicht wie man die Wahrscheinlichkeit
> von z. Bsp. einer Überlappung berechnet. Wenn ich beim
> erstem Mal 6 ziehe und beim zweitem Mal 5 was ist da die
> Wahrscheinlichkeit genau eine Überlappung und nicht mehr
> zu haben?
Das ist eine neue Fragestellung, die durchaus schwieriger ist.
Bleib doch erstmal bei der ursprünglichen Aufgabe, und wenn es insgesamt mehr Informationen und/oder mehr Aufgabenteile gibt, dann stell bitte mal das Ganze hier ein. So kommen wir ja nicht weiter.
Übrigens noch einmal der Hinweis: Du sollst die Aufgabe lösen können! Wenn Du das schon könntest, würdest Du nicht nachfragen. Also helfen wir Dir, es zu lernen.
Lies mal die [mm] \rightarrow[/mm] Forenregeln, damit Du weißt, wozu dieses Forum da ist und was dabei Deine Aufgabe ist.
Dann helfen wir Dir gern weiter.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 27.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Mir erscheint die englische Fassung klarer.
Gegeben ist eine Urne mit 52 Kugeln, die alle voneinander unterschieden werden können.
Es wird zweimal gezogen. Die Zahl der Kugeln, die gezogen werden, liegt zwischen 0 und 8.
Beim ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit, dass $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 8$ Kugeln gezogen werden, durch die Werte [mm] $p_n$ [/mm] (Tabelle) gegeben.
Nach dem ersten Zug werden die Kugeln wieder in die Urne gelegt. Beim zweiten Zug ist die Wahrscheinlichkeit, dass $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 8$ Kugeln gezogen werden, durch die Werte [mm] $q_n$ [/mm] (Tabelle) gegeben.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass in beiden Zügen genau eine Kugel beides Mal gezogen wurde, genau 2 Kugeln beides Mal gezogen wurden, ...., 8 Kugeln beides Mal gezogen wurden.
Bei dieser Frage kann ich verstehen, dass um eine Lösungsidee gebeten wird.
Wenn ich nun in die Tabellen schaue, dann fällt der Fall n = 8 schon mal heraus. Der Fall n = 7 ist noch ganz übersichtlich und sollte zum Einstieg bearbeitet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mi 27.05.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo pollock,
ich habe Deine PN inzwischen erhalten.
Informationen, die die Lösung der behandelten Aufgabe betreffen, machen aber deutlich mehr Sinn im entsprechenden Thread.
Deswegen kopiere ich deine Nachricht - Dein Einverständnis vorausgesetzt - mal hierher:
> Hallo reverend, vielen Dank für die Antwort.
>
> Das Problem ist wie folgt zu verstehen. Ich nehme zweimal
> Bälle aus der Urne mit zurücklegen und jedes mal ist es
> wahrscheinlichkeitsbasiert wieviele ich ziehe, ich kann dabei
> jedesmal 0-8 Bälle ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten für beide
> Ziehungen sind bekannt. Die Fragestellung ist wie hoch die
> Wahrscheinlichkeit ist von einer oder zwei Überlappungen. Ich
> stehe hier nur etwas auf dem Schlauch wie zum Beispiel ich
> ausrechnen kann wie hoch die Wahrscheinlichkeit von zum
> Beispiel genau 2 Überlappungen ist wenn ich beim ersten Mal 5
> ziehe und beim zweitem Mal 6.
>
> Danke sehr und viele Grüße
> Pollock
Gut, das ist jetzt verständlicher. Ich mache mich mal an eine Antwort für dieses Beispiel.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
ich nehme mal das von Dir angeführte Beispiel:
In zwei Ziehungen werden einmal 5 und einmal 6 Kugeln gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kugeln in beiden Ziehungen vorkommen?
Die Reihenfolge der Ziehungen ist nicht egal (unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten in der vorgegebenen Liste). Ich beschränke mich auf den Fall, dass erst 5, dann 6 Kugeln gezogen werden. Für den wesentlichen Teil der folgenden Betrachtung ist das allerdings unerheblich!
Nehmen wir an, die 52 Kugeln wären von 1 an fortlaufend nummeriert und so unterscheidbar.
In der ersten Ziehung werden nun fünf Kugeln gezogen, die damit für die weitere Betrachtung feststehen. Dies seien die Kugeln A,B,C,D,E, wobei jeder Buchstabe für eine nun festgelegte Zahl bzw. Kugel steht.
In der zweiten Ziehung werden sechs Kugeln gezogen. Dafür gibt es offenbar [mm] \vektor{52\\6} [/mm] Möglichkeiten.
Betrachten wir nun nur eine der [mm] \vektor{5\\2} [/mm] möglichen Kombinationen der zwei "überlappenden" Kugeln in beiden Ziehungen.
In der zweiten Ziehung müssen also diese beiden Kugeln vorkommen, keine der anderen vier gezogenen Kugeln darf mit einer der aus Ziehung 1 "übrigen" übereinstimmen.
Das ist in [mm] \vektor{52-5\\4} [/mm] Fällen erfüllt.
Für die ausgewählte Kombination von zwei überlappenden Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit, dass gerade diese (und nur diese) in der zweiten Ziehung enthalten sind, [mm] \vektor{47\\4}\Bbig/\vektor{52\\6}.
[/mm]
Das alles zusammengebaut ergibt für den Fall "genau 2 Überlappungen bei 5 Kugeln in der ersten, 6 Kugeln in der zweiten Ziehung" eine Wahrscheinlichkeit [mm] r_{2|5|6} [/mm] von
[mm] r_{2|5|6}=p_5*q_6*\bruch{\vektor{5\\2}*\vektor{47\\4}}{\vektor{52\\6}}
[/mm]
Allgemeiner entsprechend für den Fall "genau k Überlappungen bei m Kugeln in der ersten, n Kugeln in der zweiten Ziehung" eine Wahrscheinlichkeit [mm] r_{k|m|n} [/mm] von
[mm] r_{k|m|n}=p_m*q_n*\bruch{\vektor{m\\k}*\vektor{52-m\\n-k}}{\vektor{52\\n}}
[/mm]
Dabei sind allerdings noch ein paar Überlegungen zu Einschränkung bzw. dem Verhältnis von k,m,n zu anzustellen.
Im übrigen kannst Du einen ersten Test zur Plausibilität der obigen allgemeinen Formel anstellen.
Die Unsymmetrie der Reihenfolge ist ja allein durch die unterschiedlichen Listen der [mm] p_i, q_i [/mm] gegeben. Wären die gleich, dann wäre auch [mm] r_{k|m|n}=r_{k|n|m}, [/mm] also
[mm] \bruch{\vektor{m\\k}*\vektor{52-m\\n-k}}{\vektor{52\\n}}=\bruch{\vektor{n\\k}*\vektor{52-n\\m-k}}{\vektor{52\\m}}
[/mm]
Das solltest Du unbedingt mal überprüfen.
Grüße
reverend
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