V-max. Pyramide < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Seitenlänge 6cm. Wie kann ich die Kombination von Grundfläche und Höhe herausfinden, bei der die Pyramide das größte Volumen hat? Gibt es eine Formel nach der sich das maximale Volumen einer Pyramide mit vorgegebener Seitenlänge berechnen lässt? Ich könnte ansonsten nur die Volumina bei verschiedenen Höhen H berechnen um mich so an das Ergebnis heranzutasten. Bitte um Hilfestellung
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Was muss ich tun um mit meiner Frage angenommen zu werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
So ganz verstehe ich deine Frage nicht.
Es gilt: [mm] $V=\frac{1}{3}g\h$. [/mm] Die quad. Grundfläche kannst du berechnen, die hast du ja mit [mm] $g=6^2$ [/mm] schon vorgegeben. Dann ist $V~h$, so dass du sagen kannst: Je größer h desto größer ist V.
Hast du eine Nebenbedingung, dass du für h auch noch irgendeine Formel hast?
Ansonsten, falls du eine Nebenbedingung hast, die ich aus deiner Frage leider nicht herauslesen kann, dann kannst du diese einstezen und dann nach einer Größe Ableiten, um heruaszufinden, wann V am größten wird.
Hier hilft dann also die Differentialrechnung.
Bis dahin,
LG
Kroni
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Mit der Seitenlänge von 6cm habe ich s gemeint, die Seitenlänge von den Eckpunkten zur Spitze der Pyramide. Wenn diese konstant sind, ändert sich bei zunehmender Höhe (Strecke Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche zur Spitze der Pyramide) auch die Grundfläche, so dass mit steigender Höhe das Volumen zuerst zunimmt und ab einem bestimmten Punkt wieder abnimmt. Kann ich diesen Punkt irgendwie berechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, dann verstehe ich dein Problem jetzt.
Du kannst eine Funktion herstellen, nämlich das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe.
Es gilt weiterhin $V(h)=1/3 [mm] \*g\*h$.
[/mm]
Die Höhe ist die Variable.
Dann kannst du (mach dir am besten mal eine Zeichnung) etwas über die Hälfte der Grundseitendiagnolae aussagen (das kannst du mit Pythagoras machen):
Es gilt:
[mm] $6^2=h^2+(0.5d)^2$
[/mm]
Dann kommt auch nach Pyth. :
Wenn x die Seitenlänge des Quadrates ist, dann gilt: [mm] $d^2=2x^2$.
[/mm]
Jetzt weiß man, dass [mm] $A=x^2=g$ [/mm] ist, und dann kannst du g durch d ausdrücken. d kannst du durch h ausdrücken und du hast eine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von h.
Dann nach h ableiten, Nullstezten etc, und du bist fertig.
EDIT: Hier siehst du mal die Funktion, die ich herausgearbeitet habe. Man sieht: Ist die Höhe gleich Null, so ist das Volumen Null. Ist die Höhe gleich 6, so ist das Volumen Ebenfalls gleich Null, da die Grundfläche zusammenschmilzt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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