VI für Teilbarkeit durch 9 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 07.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
ich soll mittels Vollständiger Induktion folgendes beweisen:
[mm] 4^n+15n-1 [/mm] ist teilbar durch 9 ; n [mm] \ge [/mm] 1
Ich habe folgenden Ansatz:
Induktionsschritt:
4^(n+1) + 15*(n+1) - 1 mod 9 = 0
Hm... weiter komme ich leider nicht. :(
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Hallo MissYumi,
> ich soll mittels Vollständiger Induktion folgendes
> beweisen:
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> [mm]4^n+15n-1[/mm] ist teilbar durch 9 ; n [mm]\ge[/mm] 1
>
> Ich habe folgenden Ansatz:
>
> Induktionsschritt:
>
> 4^(n+1) + 15*(n+1) - 1 mod 9 = 0
>
> Hm... weiter komme ich leider nicht. :(
Schreibe das mal etwas anders:
[mm]\begin{gathered}
4^{n + 1} \; + \;15\;\left( {n + 1} \right)\; - \;1\; = \;4\;4^n \; + \;15\;n\; + \;15\; - \;1 \hfill \\
= \;4^n \; + \;15\;n\; - \;1\; + \;3\;4^n \; + \;15 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann hast Du nämlich nur noch zu zeigen, daß [mm]3\;4^{n}\;+\;15[/mm] durch 9 teilbar ist.
Das kannst Du wiederum mit vollständiger Induktion zeigen, oder aber Du berechnest welchen Rest [mm]4^{n}[/mm] bei Division durch 9 lässt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 07.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Warum muss ich dann nur noch den hinteren Teil beweisen?
Ich krieg den Anfang schon nicht hin. Beweis von Summen mittels Vollständiger Induktion bekomme ich mittlwerweile ganz gut hin. Aber sowas nicht. :(
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Hallo,
MathePower sagte doch
[mm] 4^{n + 1}+ [/mm] 15( {n + 1}- 1
= [mm] 4*4^n+15n+15-1
[/mm]
[mm] =(4^n [/mm] +15n - 1) + [mm] 3*4^n [/mm] +15
Nun schau Dir den geklammerten Teil an: Das ist doch die Induktionsvoraussetzung, also durch 9 teilbar, d.h. es gibt ein t [mm] \in \IN [/mm] mit
=9t+ [mm] (3*4^n [/mm] +15) .
Wird Dir nun klar, daß Du nun "nur" noch von dem hinten Geklammerten die Teilbarkeit durch 9 beweisen mußt? Da ich mit fast sicher bin, daß Du keine Induktion in der Induktion möchtest, empfehle ich Dir dies:
[mm] =9t+3(4^n+5)
[/mm]
[mm] =9t+3((1+3)^n+5)
[/mm]
Jetzt den binomischen Satz, gucken, welche Summenglieder durch drei teilbar sind, und überlegen, was Du mit den nicht durch drei teilbaren machen könntest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Di 08.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
wenn ich jetzt für n = 1 einsetze in:
[mm] 3(4^n [/mm] + 15) dann kommt da 57 raus. Das ist aber nicht durch 9 teilbar. :(
Hab ich jetzt bewiesen das die aussage nicht gilt? Kann man das überhaupt so machen?
Wenn ich aber in [mm] 4^n [/mm] + 15n - 1 n = 1 einsetze ist das durch 9 teilbar. Für n = 2 auch.. jetzt bin ich verwirrt.
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> Hallo,
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> wenn ich jetzt für n = 1 einsetze in:
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> [mm]3(4^n[/mm] + 15) dann kommt da 57 raus. Das ist aber nicht durch
> 9 teilbar. :(
Das ist gar nicht schlimm!
Denn der Ausdruck, den Du da stehen hast, interessiert uns gar nicht...
Wir interessieren uns doch für [mm] 3(4^n+ 5)=(3*4^n+15) [/mm] ! Und das läßt sich willig durch 9 teilen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Di 08.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ok, da hatte ich einen Fehler sorry. Ok.. ich stelle gerade fest, dass ich nicht weis wie ich auf solch eine aussage [mm] 3(4^n [/mm] + 5) vollständige induktion anwende. Ich soll ja die ganze aussage durch VI beweisen. Ich habe jetzt hingeschrieben 3(4^(n+1) + 5) mod 9 = 0... aber da weis ich halt nicht weiter in bezug auf VI.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Eines vorneweg: bitte vermeide doch so kurzfristige Fälligkeiten!
[mm] $3*\left(4^{n+1} + 5\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(4*4^n + 5\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(3*4^n + 4^n + 5\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*3*4^n [/mm] + \ [mm] \blue{3*\left(4^n + 5\right)} [/mm] \ = \ ...$
Schaffst Du den letzten "Schritt" nun alleine?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Di 08.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
ok... is mir n bissl peinlich, aber ich glaub ich hab das ganze.. also die ganze VI hier nicht verstanden. Ich weis nicht auf was ich überhaupt am ende kommen soll. Ja... bräuchte vielleicht ein paar andere bsp aufgaben dazu. VI bei Summen ist für mich kein Problem mehr. Hab ich dank hilfe aus dem Forum durch die bsp verstanden. Aber das hier... versteh ich nicht...
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