VR Beweis mit Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 17.04.2011 | | Autor: | Monoid |
| Aufgabe | 1) Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und seien [mm] \beta, \alpha [/mm] Element V* mit [mm] \beta\not=0.
[/mm]
2) Zeigen Sie, dass [mm] \alpha= \lambda\*\beta [/mm] für ein [mm] $\lambda$ [/mm] Element [mm] $K\setminus\{0\}$ [/mm] gilt, gdw [mm] Kern(\beta)=Kern(\alpha)
[/mm]
3) Kann auf die Voraussetzung [mm] \beta\not=0 [/mm] verzichtet werden? |
Hallo liebes Forum,
diese Aufgabe ziert mein Übungsblatt und versüßt mir schon den ganzen Vormittag (samt Mittag sehe ich gerade...).
Ich habe die Aufgabe in 3 Schritte unterteilt.
zu 1) ist klar, dass V ein VR mit endlicher (eben n) Dimension ist. Weiterhint sind [mm] \beta, \alpha [/mm] Elemente von V* (höchstwahrscheinlich ein Dualraum zu V) und [mm] \beta [/mm] ist eben [mm] \not=0.
[/mm]
zu 2) Ich weiß nicht wie ich das anfangen soll. Wie soll ich die Kerne vergleichen? Ich weiß aus 1) ja nur das [mm] \beta\not=0 [/mm] ist und somit der [mm] Kern(\beta) [/mm] ja auch nicht Null sein kann sondern nur auf Null abbildet. Was eben ein Kern macht. Was ist der erste Schritt?
zu 3) Wird sicherlich klar, wenn 2) steht.
Für einen Hinweis wie ich 2) anfange bin ich dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 So 17.04.2011 | | Autor: | Monoid |
Ich habe keine Ahnung, weshalb das jetzt in Schulmathe gelandet ist. Kann das jemand verschieben, bzw. mir sagen wie ich das in Unimathe (Lineare Algebra) verschieben kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 17.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1) Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und seien [mm]\beta, \alpha[/mm]
> Element V* mit [mm]\beta\not=0.[/mm]
> 2) Zeigen Sie, dass [mm]\alpha= \lambda\*\beta[/mm] für ein
> [mm]\lambda[/mm] Element [mm]K\setminus\{0\}[/mm] gilt, gdw
> [mm]Kern(\beta)=Kern(\alpha)[/mm]
> 3) Kann auf die Voraussetzung [mm]\beta\not=0[/mm] verzichtet
> werden?
>
> Hallo liebes Forum,
>
> diese Aufgabe ziert mein Übungsblatt und versüßt mir
> schon den ganzen Vormittag (samt Mittag sehe ich
> gerade...).
>
> Ich habe die Aufgabe in 3 Schritte unterteilt.
> zu 1) ist klar, dass V ein VR mit endlicher (eben n)
> Dimension ist. Weiterhint sind [mm]\beta, \alpha[/mm] Elemente von
> V* (höchstwahrscheinlich ein Dualraum zu V) und [mm]\beta[/mm] ist
> eben [mm]\not=0.[/mm]
Richtig [mm] $V^\ast$ [/mm] ist der Dualraum zu V, also die Menge der linearen Funktionale auf V.
> zu 2) Ich weiß nicht wie ich das anfangen soll. Wie soll
> ich die Kerne vergleichen? Ich weiß aus 1) ja nur das
> [mm]\beta\not=0[/mm] ist und somit der [mm]Kern(\beta)[/mm] ja auch nicht
> Null sein kann sondern nur auf Null abbildet. Was eben ein
> Kern macht. Was ist der erste Schritt?
Der Kern ist keine Abbildung, sondern eine Teilmenge von V:
[mm] \ker(\beta) = \{v\in V\mid \beta(v)=0\} [/mm] .
Daraus folgt, dass [mm] $\beta=0 \gdw \ker (\beta) [/mm] = V$ .
Tipp: [mm]\beta, \alpha \in V^\ast[/mm] sind lineare Abbildungen von V nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 17.04.2011 | | Autor: | Monoid |
Super! Das hat mir geholfen, thx. :)
Das ist alles? Ich soll also nur zeigen, dass Linearität vorliegt? Wie war das noch...?
Linear ist eine Abbildung wenn sie additiv und homogen ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 17.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Super! Das hat mir geholfen, thx. :)
>
> Das ist alles? Ich soll also nur zeigen, dass Linearität
> vorliegt? Wie war das noch...?
Nein, [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] sind linear per Definition des Dualraums. Du sollst zeigen, dass [mm] $\ker \alpha [/mm] = [mm] \ker \beta [/mm] $ ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 17.04.2011 | | Autor: | Monoid |
Stimmt, ja... Steht ja auch dem Blatt -.-
Wie zeige ich das? Nehme ich ein beliebiges Element für [mm] \lambda [/mm] (außer 0) und zeige dann Gleichheit?
z.B. [mm] \alpha=\lambda*\beta [/mm] mit [mm] \lambda=3
[/mm]
setze dann mein neues [mm] \alpha [/mm] in [mm] Kern(\alpha)?[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 17.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zeigen wir mal die Hinrichtung.
Sei [mm] $a=\lambda [/mm] *b$ und [mm] $\lambda\not=0$. [/mm] Zu zeigen: $ker(a)=ker(b)$.
Dazu kannst du zeigen, dass
(i) [mm] $ker(a)\subseteq [/mm] ker(b)$
und
(ii) [mm] $ker(b)\subseteq [/mm] ker(a)$
gilt.
Zu (i):
Sei [mm] $v\in [/mm] ker(a)$. Das heißt doch dann, dass $a(v)=0$ ist. Dann ist doch aber auch [mm] $a(v)=\lambda*b(v)=0$. [/mm] Und wenn [mm] $\lambda*b(v)=0$ [/mm] und [mm] $\lambda\not= [/mm] 0$ ist, muss $b(v)=0$ sein (weil wir uns hier in einem Körper befinden). Also $v [mm] \in [/mm] ker(b)$.
Analog kannst du auch (ii) zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Monoid |
Da bedanke ich mich mal beim Teufel. *Danggö
Jetzt steht wohl 2).
zu 3) würde ich sagen, auf die Voraussetzung [mm] \beta\not=0 [/mm] kann verzichtet werden, weil ... ja weil ... ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei der 2.) musst du aber auch noch die Rückrichtung zeigen!
Und bei der 3.) kannst du mal für b überall die Nullabbildung einsetzen (in 2.) und schauen, ob die Äquivalenz dann noch stimmt.
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