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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 22.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] \produkt [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le3,
[/mm]
Basis von [mm] \produkt [/mm] sei [mm] B:=\{p_{0}(t)=1, p_{1}(t)=t, p_{2}(t)=t^2, p_{3}(t)=t^3\} [/mm]
und D sei die lineare Abbildung, die durch die Ableitung gegeben ist:
[mm] D:\produkt\to\produkt, p(t)\mapsto{p'(t)} [/mm]
Bestimme die Matrixdarstellung M(D;B) von D bezüglich der Basis B. |
Hi,
irgendwie weiß ich in diesem Falle nicht, wie ich die Matrixdarstellung M(D;B) bestimmen muss. Wie gehe ich denn da allgemein vor?
Ich weiß, dass
[mm] p_{0}'(t)=0
[/mm]
[mm] p_{1}'(t)=1
[/mm]
[mm] p_{2}'(t)=2t
[/mm]
[mm] p_{3}'(t)=3t^2
[/mm]
aber ist das überhaupt gefragt? Ich weiß im Moment gar nicht, wie ich in diesem Fall die Matrix M(D;B) bestimmen kann.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
MfG barsch
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Hallo barsch!
Eigentlich ist genau das gefragt. Erinnere dich an folgenden Satz: In den Spalten der darstellenden Matrix der linearen Abbildung stehen die Koordinatenvektoren (bezgl. der Zielbasis) der Bilder der Basisvektoren (du weißt sicherlich, was ich meine  ).
Wir müssen also nur die Bilder das Basisvektoren berechnen (was du schon gemacht hast). Konkret z.B.
[mm] $$D(p_3(t)) [/mm] = [mm] 3t^2 [/mm] = 0 * [mm] p_0(t) [/mm] + 0 * [mm] p_1(t) [/mm] + 3 * [mm] p_2(t) [/mm] + 0 * [mm] p_3(t)$$
[/mm]
Ich glaube, der Rest ist dir dann selber klar. Als darstellende Matrix erhälst du dann
$$M(D, B) = [mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
[/mm]
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Sa 22.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi subclasser,
vielen Dank für die sehr gute Erklärung. Das hilft mir weiter ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MfG barsch
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