VR der linearen Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, so ist [mm] $(\operatorname{Hom}(V,K),+,\cdot)$ [/mm] ein $K$-Vektorraum.
Gilt dies auch für Schiefkörper $K$? Wenn nein, haben Sie eine Idee was man alternativ machen könnte? |
Hallo zusammen,
bin gerade an dieser Aufgabe und stelle mir die Frage, ob [mm] $(\operatorname{Hom}(V,K),+,\cdot)$ [/mm] ein Vektorraum über einem Schiefkörper $K$ wäre - meiner Meinung nach nein, da ich sicherlich die Kommutativität der Multiplikation gebrauchen könnte. Leider fehlt mir gerade die Idee wo.
Grüße
Joe
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum, so ist
> [mm](\operatorname{Hom}(V,K),+,\cdot)[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum.
> Gilt dies auch für Schiefkörper [mm]K[/mm]? Wenn nein, haben Sie
> eine Idee was man alternativ machen könnte?
> Hallo zusammen,
>
> bin gerade an dieser Aufgabe und stelle mir die Frage, ob
> [mm](\operatorname{Hom}(V,K),+,\cdot)[/mm] ein Vektorraum über
> einem Schiefkörper [mm]K[/mm] wäre - meiner Meinung nach nein, da
> ich sicherlich die Kommutativität der Multiplikation
> gebrauchen könnte. Leider fehlt mir gerade die Idee wo.
Hallo,
juchhu, ich hab's - das war jetzt echt mal was anderes...
Wenn K ein echter Schiefkörper ist, so gibt es Elemente [mm] a,b\in [/mm] K mit [mm] ab\not=ba.
[/mm]
Wenn V nicht der Nullraum ist, so gibt es ein vom Nullvektor verschiedenes Element v, und in Hom(V,K) ist ein Homomorphismus f enthalten mit f(v)=1.
Wenn nun Hom(V,K) ein VR über K ist, so ist die Abbildung [mm] af\in [/mm] Hom(V,K).
Es ist also af ein Homomorphismus, dh. es gilt (af)(bv)=b(af)(v).
Es ist (af)(bv)=a(f(bv))=a(bf(v))=(ab)f(v)=ab,
und es ist
b(af)(v)=b(af(v))=(ba)f(v)=ba,
somit also ab=ba, womit man einen Widerspruch zu [mm] ab\not=ba [/mm] hat.
Ich glaube, man kann das Problem umgehen, wenn man für [mm] \lambda\in [/mm] K, [mm] f\in [/mm] Hom(V,K) nicht wie gewöhnlich definiert, daß [mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x) f.a. [mm] x\in [/mm] V, sondern stattdessen
[mm] (\lambda f)(x):=f(x)*\lambda.
[/mm]
Müßt' ich nochmal scharf drüber nachdenken - aber mach das doch besser Du!
LG Angela
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> Hallo,
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> juchhu, ich hab's - das war jetzt echt mal was anderes...
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> Wenn K ein echter Schiefkörper ist, so gibt es Elemente
> [mm]a,b\in[/mm] K mit [mm]ab\not=ba.[/mm]
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> Wenn V nicht der Nullraum ist, so gibt es ein vom
> Nullvektor verschiedenes Element v, und in Hom(V,K) ist ein
> Homomorphismus f enthalten mit f(v)=1.
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> Wenn nun Hom(V,K) ein VR über K ist, so ist die Abbildung
> [mm]af\in[/mm] Hom(V,K).
> Es ist also af ein Homomorphismus, dh. es gilt
> (af)(bv)=b(af)(v).
>
> Es ist (af)(bv)=a(f(bv))=a(bf(v))=(ab)f(v)=ab,
> und es ist
> b(af)(v)=b(af(v))=(ba)f(v)=ba,
>
> somit also ab=ba, womit man einen Widerspruch zu [mm]ab\not=ba[/mm]
> hat.
>
Hallo angela, ich danke dir für deine Antwort.
Jedenfalls noch eine Sache, wir haben in der Vorlesung die Vektorräume über Schiefkörper definiert, sodass auch meine Definition der Homogenität einer linearen Abbildung so aussieht [mm] $f(v\lambda) [/mm] = [mm] f(v)\lambda$. [/mm]
Des Weiteren steht in einer vorherigen Aufgabe, die skalare Multiplikation so definiert: $(fk)(v) := f(v)k$ mit $k [mm] \in [/mm] K$. Also schreibe ich mal deine Argumentation um :):
Es gilt: $(fa)(vb) = (f(vb))a = (f(v)b)a = f(v)ba = ba$ und $(fa)(v)b = f(v)ab = ab$, Widerspruch zur Vermutung $(fa)(vb) = (fa)(v)b$, da Kommutativität der skalaren Multiplikation im Schiefkörper $K$ nicht gilt.
> Ich glaube, man kann das Problem umgehen, wenn man für
> [mm]\lambda\in[/mm] K, [mm]f\in[/mm] Hom(V,K) nicht wie gewöhnlich
> definiert, daß [mm](\lambda f)(x):=\lambda[/mm] f(x) f.a. [mm]x\in[/mm] V,
> sondern stattdessen
> [mm](\lambda f)(x):=f(x)*\lambda.[/mm]
> Müßt' ich nochmal scharf
> drüber nachdenken - aber mach das doch besser Du!
Ich glaube aber, dass diese Definition nichts ändern würde, da wenn wir ein skalares Vielfaches unseres Vektors $v$ nehmen würden, der obige Widerspruch reproduzierbar wäre. Mein Vorschlag wäre diese Eventualität zu beachten und dann sowas zu schustern: $(fa)(vb)k := f(v)kab$. Damit wäre der erste Teil $(fa)(vb) = ab$ und der zweite $(fa)(v)b = ab$ ebenfalls, aber ob das so stimmig ist, wage ich zu bezweifeln - aber das ist ja nur eine Teilaufgabe :)
> LG Angela
>
LG
Joe
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> > Hallo,
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> > juchhu, ich hab's - das war jetzt echt mal was anderes...
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> > Wenn K ein echter Schiefkörper ist, so gibt es Elemente
> > [mm]a,b\in[/mm] K mit [mm]ab\not=ba.[/mm]
> >
> > Wenn V nicht der Nullraum ist, so gibt es ein vom
> > Nullvektor verschiedenes Element v, und in Hom(V,K) ist ein
> > Homomorphismus f enthalten mit f(v)=1.
> >
> > Wenn nun Hom(V,K) ein VR über K ist, so ist die Abbildung
> > [mm]af\in[/mm] Hom(V,K).
> > Es ist also af ein Homomorphismus, dh. es gilt
> > (af)(bv)=b(af)(v).
> >
> > Es ist (af)(bv)=a(f(bv))=a(bf(v))=(ab)f(v)=ab,
> > und es ist
> > b(af)(v)=b(af(v))=(ba)f(v)=ba,
> >
> > somit also ab=ba, womit man einen Widerspruch zu [mm]ab\not=ba[/mm]
> > hat.
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> Hallo angela, ich danke dir für deine Antwort.
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> Jedenfalls noch eine Sache, wir haben in der Vorlesung die
> Vektorräume über Schiefkörper definiert, sodass auch
> meine Definition der Homogenität einer linearen Abbildung
> so aussieht [mm]f(v\lambda) = f(v)\lambda[/mm].
> Des Weiteren steht in einer vorherigen Aufgabe, die skalare
> Multiplikation so definiert: [mm](fk)(v) := f(v)k[/mm] mit [mm]k \in K[/mm].
> Also schreibe ich mal deine Argumentation um :):
>
> Es gilt: [mm](fa)(vb) = (f(vb))a = (f(v)b)a = f(v)ba = ba[/mm] und
> [mm](fa)(v)b = f(v)ab = ab[/mm], Widerspruch zur Vermutung [mm](fa)(vb) = (fa)(v)b[/mm],
> da Kommutativität der skalaren Multiplikation im
> Schiefkörper [mm]K[/mm] nicht gilt.
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> > Ich glaube, man kann das Problem umgehen, wenn man für
> > [mm]\lambda\in[/mm] K, [mm]f\in[/mm] Hom(V,K) nicht wie gewöhnlich
> > definiert, daß [mm](\lambda f)(x):=\lambda[/mm] f(x) f.a. [mm]x\in[/mm] V,
> > sondern stattdessen
> > [mm](\lambda f)(x):=f(x)*\lambda.[/mm]
> > Müßt' ich nochmal
> scharf
> > drüber nachdenken - aber mach das doch besser Du!
>
> Ich glaube aber, dass diese Definition nichts ändern
> würde, da wenn wir ein skalares Vielfaches unseres Vektors
> [mm]v[/mm] nehmen würden, der obige Widerspruch reproduzierbar
> wäre.
Hallo,
nein.
Du würdest ja jetzt - im Gegensatz zu Euren sonstigen Gepflogenheiten - das Vielfache af einer Funktion definieren durch
(af)(x):=af(x), hast also den skalaren Faktor auf der anderen Seite als bei der Linearitätsbedingung.
Dann hat man (af)(bv)=af(bv)=a(f(v)b)=ab
und (af)(bv)=(af)(v)b=(af(v))b=ab,
und der oben aufgedeckte Widerspruch ist nun nicht mehr da.
Also kann man die VR-Eigenschaft wohl retten, indem man im Dualraum die Multiplikation mit Skalaren von der anderen Seite definiert.
Aber ich lasse mich gern vom Gegenteil überzeugen - meine Überlegungen sind in diesem Fall als Verhandlungsbasis zu verstehen, nicht als Gesetz.
LG Angela
Mein Vorschlag wäre diese Eventualität zu beachten
> und dann sowas zu schustern: [mm](fa)(vb)k := f(v)kab[/mm]. Damit
> wäre der erste Teil [mm](fa)(vb) = ab[/mm] und der zweite [mm](fa)(v)b = ab[/mm]
> ebenfalls, aber ob das so stimmig ist, wage ich zu
> bezweifeln - aber das ist ja nur eine Teilaufgabe :)
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> > LG Angela
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> LG
> Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Sa 02.02.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
> Hallo,
>
> nein.
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> Du würdest ja jetzt - im Gegensatz zu Euren sonstigen
> Gepflogenheiten - das Vielfache af einer Funktion
> definieren durch
> (af)(x):=af(x), hast also den skalaren Faktor auf der
> anderen Seite als bei der Linearitätsbedingung.
>
> Dann hat man (af)(bv)=af(bv)=a(f(v)b)=ab
> und (af)(bv)=(af)(v)b=(af(v))b=ab,
> und der oben aufgedeckte Widerspruch ist nun nicht mehr
> da.
>
> Also kann man die VR-Eigenschaft wohl retten, indem man im
> Dualraum die Multiplikation mit Skalaren von der anderen
> Seite definiert.
> Aber ich lasse mich gern vom Gegenteil überzeugen - meine
> Überlegungen sind in diesem Fall als Verhandlungsbasis zu
> verstehen, nicht als Gesetz.
>
> LG Angela
>
Hallo Angela, danke dir für deine schlüssige Argumentation. Ein Gegenbeispiel fällt mir nicht ein, aber vom Dualraum (was es ja zu sein scheint) habe ich in der VL bisher noch nichts gehört, daher ist deine Folgerung zur Lösung der Aufgabe sicherlich völlig zufriedenstellend :)
LG
Joe
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