VR über K ,ES,lineare unabhäng < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Schönen Abend Leute,
Folgende Aufgabenstellung würde ich gerne mit eurer Hilfe verstehen
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und T [mm] \subseteq [/mm] V ein Erzeugendensystem sowie S [mm] \subseteq [/mm] V linear unabhängig.
Nun soll ich zwei Aussagen zeigen:
1.Die Menge S ist genau dann eine Basis von V wenn [mm] |S|=dim_K [/mm] V
2.Die Menge T ist genau dann eine Basis von V, wenn [mm] |T|=dim_K [/mm] V
Soweit so gut :D
zu 1.:
ich soll beweisen das S genau dann Basis von V ist wenn die Mächtigkeit der Basis gleich der Dimension von V ist.
S ist Basis von V wenn S minimales Erzeugendensystem von V ist und S linear unabhängig ist.
also gibt es den Nullvektor aus elementen aus S nur als triviale Lösung:
[mm] 0*s_1+...+0*s_n=0_1,.....0_n [/mm] (skalare bzw. 0 [mm] \in [/mm] K )
hm ich würde jetzt einen indirekten Beweis durchführen mit der Annahme:
|S| [mm] \not= dim_K [/mm] V
S wäre jetzt linear abhängig also nurnoch ein ES von V aber kein minimales ES also keine Basis.
[mm] a_1*s_1+...+a_n*s_n=0 [/mm] (a [mm] \in [/mm] K)
nullvektor also auch nichttrivial darstelbar also mind. ein skalar [mm] \not= [/mm] 0
Weiss nicht so recht ob meine idee stimmt ist irgendwie nicht schlüssig vielleicht kann ja einer von euch drüberschauen
Ist die 2. Aussage nicht fast dasselbe nur irgendwie anders?^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Schönen Abend Leute,
> Folgende Aufgabenstellung würde ich gerne mit eurer Hilfe
> verstehen
>
> Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem
> Körper K und T [mm]\subseteq[/mm] V ein Erzeugendensystem sowie S
> [mm]\subseteq[/mm] V linear unabhängig.
> Nun soll ich zwei Aussagen zeigen:
> 1.Die Menge S ist genau dann eine Basis von V wenn
> [mm]|S|=dim_K[/mm] V
>
> 2.Die Menge T ist genau dann eine Basis von V, wenn
> [mm]|T|=dim_K[/mm] V
>
> Soweit so gut :D
>
> zu 1.:
> ich soll beweisen das S genau dann Basis von V ist wenn
> die Mächtigkeit der Basis gleich der Dimension von V ist.
>
> S ist Basis von V wenn S minimales Erzeugendensystem von V
> ist und S linear unabhängig ist.
> also gibt es den Nullvektor aus elementen aus S nur als
> triviale Lösung:
> [mm]0*s_1+...+0*s_n=0_1,.....0_n[/mm] (skalare bzw. 0 [mm]\in[/mm] K )
>
> hm ich würde jetzt einen indirekten Beweis durchführen
> mit der Annahme:
> |S| [mm]\not= dim_K[/mm] V
>
> S wäre jetzt linear abhängig
Wieso ????
Es gibt 2 Fälle, wenn |S| [mm]\not= dim_K[/mm] V:
Fall 1: |S| [mm]< dim_K[/mm] V
Fall 2: |S| [mm]> dim_K[/mm] V
Zeige, dass in beiden Fällen S keine Basis von V sein kann.
> also nurnoch ein ES von V
> aber kein minimales ES also keine Basis.
> [mm]a_1*s_1+...+a_n*s_n=0[/mm] (a [mm]\in[/mm] K)
>
> nullvektor also auch nichttrivial darstelbar also mind. ein
> skalar [mm]\not=[/mm] 0
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> Weiss nicht so recht ob meine idee stimmt ist irgendwie
> nicht schlüssig vielleicht kann ja einer von euch
> drüberschauen
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> Ist die 2. Aussage nicht fast dasselbe nur irgendwie
> anders?^^
Ja, was hast Du an Überlegungen dazu angestellt ??
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 19.11.2015 | | Autor: | mathnoob9 |
Danke habe es jetzt hinbekommen !
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