Vandermonde-Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 06.06.2007 | | Autor: | dany1912 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_1, a_2, [/mm] ... , [mm] a_n \in\ [/mm] IR, n [mm] \in\ [/mm] IN, n [mm] \ge [/mm] 2 und
[mm] W_n [/mm] = [mm] \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & ... & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n\\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & ... a_n^2\\
... & ... & ... & ... \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1}
\end{vmatrix} [/mm]
Man zeige (Induktion!) :
[mm] W_n [/mm] = [mm] \prod_{i \le j < i \le n} (a_i-a_j) [/mm] |
Hallo liebe Mathematiker!
Ich war in der zugehörigen Übungsstunde leider nicht da, habe also wirklich keinerlei Ahnung, was zu machen ist. Ich hab versucht mich online schon mal schlau zu machen und ähnliche Beweise gefunden, aber da sieht die Determinante immer anders aus, bei den Beweisen ist die erste Spalte komplett gleich 1, nicht die erste Zeile.
Könntet ihr mir nen Tipp geben, wie ich mich an die Aufgabe ranmachen muss? Das wäre echt super! Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Na, mein Guter: der Wert der Determinante bleibt bei Transposition der Matrix unverändert. Also kannst Du ruhig exakt dieselbe Beweisidee verwenden, die Du bereits gesehen hast. Du musst einfach die Spaltenoperationen durch Zeilenoperationen ersetzen bzw. umgekehrt..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 06.06.2007 | | Autor: | dany1912 |
Danke für die schnelle Antwort!!! (Bin aber eine Gute... *g*)
So, wegen der Aufgabe aber noch mal schnell eine kleine Frage: Die Indizes i und j, wie ist das gemeint? Bzw. mir ist noch unklar, worauf das ganze zielt: Soll dass jetzt eine Vereinfachung zur Berechnung einer Determinante sein? Kann ich diese Formel immer anwenden?
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Es ist doch gewiss lustig (und auch durchaus eventuell sogar nützlich), eine derart kompakte Formel für den Wert der Vandermondeschen Determinante (für beliebiges [mm]n[/mm]) zu haben.
Eine einfache praktische Anwendung ist etwa folgende: Sind von einer Polynomfunktion [mm]n-1[/mm]-ten Grades [mm]f(x)[/mm] die Funktionswerte an [mm]n[/mm] Stellen [mm]a_1, a_2, \ldots, a_n[/mm] gegeben, so ist die Determinante des linearen Gleichungssystems, das man aus dieser Information über [mm]f(x)[/mm] für die Koeffizienten der Potenzen von [mm]x[/mm] im Funktionsterm [mm]f(x)[/mm] erhält, gerade eine Vandermondesche Determinante. Also folgt aus der Formel, die Du beweisen sollst, dass das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten von [mm]f(x)[/mm] genau dann regulär ist (also genau eine einzige Lösung hat), wenn die [mm]n[/mm] gegebenen Stellen alle verschieden sind (und genau dann nicht-regulär, aka. singulär, wenn zwei der gegebenen Stellen gleich sind).
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