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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:29 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es seien [mm] $t_k (k=1,\ldots,n)$ [/mm] paarweise verschiedene komplexe Zahlen, die alle ungleich Null sind. Aus ihnen bilden wir folgende Matrix: [mm] $A=(t^j_k)_{j,k=1,\ldots,n} \in \IC^{n,n}$.
[/mm]
Ferner sei $x [mm] \in \IC^n$, $x\not=0$ [/mm] ein Vektor, der maximal $m$, $m [mm] \leq [/mm] n$ Komponenten besitzt, die ungleich Null sind. Beweise, dass der Vektor $y [mm] \in \IC^n$ [/mm] mit $y=Ax$ dann keine $m$ aufeinanderfolgenden Komponenten besitzen kann, die alle gleich Null sind.
Hinweis: Vandermonde-Matrizen bzw deren Determinanten. |
Guten Abend!
hm, komm bei dieser aufgabe nicht weiter. könnt ihr mir bitte helfen?
hab also zuerst mal diese vandermonde - det nachgeschlagen:
[mm] det(\pmat{ 1 & 1 & 1 &... & 1 \\ a_1 & a_2& a_3&...& a_n\\ ...&...&...&...&...\\ a_1^{n-1} & ... &...&..&a_n^{n-1} }) =\produkt_{1\leqi
nun fangen die indizes der Matrix A aus der Aufgabe ja erst bei 1 an, d.h. die Matrix sieht dann so aus:
A [mm] =\pmat{ t_1 & t_2 & t_3 &... & t_n \\ t_1^2 & t_2^2& t_3^2&...& t_n^n\\ ...&...&...&...&...\\ t_1^n& ... &...&..&t_n^n }
[/mm]
oder müssen die indizes anders durchlaufen werden ? bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist es irgendwie die transponierte?
und wenn die ganze zeile bzw spalte mit 1ern fehlt, wie kann ich mit dieser formel die determinante berechnen?
und x ist von der eigenschaft her ja eigentlich eine ecke von den LOP's oder? mir ist noch nicht klar, wie ich von der determinante auf die eigenschaft von y schließen kann?
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Riley |
sorry, muss meine frage erst fertigschreiben, weiß auch nicht was ich grad gemacht hab dass der artikel schon gesendet ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo!
Also angenommen man kann mit Vandermonde zeigen, dass die Matrix A invertierbar ist (hatte da grade eine idee...) - wie komm ich dann weiter?
Die Matrix A kann ja maximal einen Eintrag haben der gleich Null ist, da alle [mm] t_k [/mm] paarweise verschieden sind.
Aber ich versteh das mit den Nullen noch nicht, wenn x z.B. n-1 (also bis auf eine Komponente) aus lauter Nullen besteht, warum sind das dann bei y nicht aufeinanderfolgende n-1 stück? ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Riley,
> Es seien [mm]t_k[/mm] (k=1,...,n) paarweise verschiedene komplexe
> Zahlen, die alle ungleich Null sind. Aus ihnen bilden wir
> folgende Matrix: [mm]A=(t^j_k)[/mm] (j,k=1,...,n) [mm]\in C^{n,n}.[/mm]
>
> Ferner sei x [mm]\in C^n, x\not=0[/mm] ein Vektor, der maximal m, m
> [mm]\leqn[/mm] Komponenten besitzt, die ungleich Null sind. Beweise,
> dass der Vektor y [mm]\in C^n[/mm] mit y=Ax dann keine m
> aufeinanderfolgenden Komponenten besitzen kann, die alle
> gleich Null sind.
> Hinweis: Vandermonde-Matrizen bzw deren Det.
> Guten Abend!
> hm, komm bei dieser aufgabe nicht weiter. könnt ihr mir
> bitte helfen?
> hab also zuerst mal diese vandermonde - det
> nachgeschlagen:
> [mm]det(\pmat{ 1 & 1 & 1 &... & 1 \\ a_1 & a_2& a_3&...& a_n\\ ...&...&...&...&...\\ a_1^{n-1} & ... &...&..&a_n^{n-1} }) =\produkt_{1\leqi
>
> nun fangen die indizes der Matrix A aus der Aufgabe ja erst
> bei 1 an, d.h. die Matrix sieht dann so aus:
> A [mm]=\pmat{ t_1 & t_2 & t_3 &... & t_n \\ t_1^2 & t_2^2& t_3^2&...& t_n^n\\ ...&...&...&...&...\\ t_1^n& ... &...&..&t_n^n }[/mm]
>
> oder müssen die indizes anders durchlaufen werden ? bei
> Wikipedia
> ist es irgendwie die transponierte?
Ja, das liegt daran, dass die Determinante einer Matrix mit der Determinante ihrer transponierten Matrix übereinstimmt.
> und wenn die ganze zeile bzw spalte mit 1ern fehlt, wie
> kann ich mit dieser formel die determinante berechnen?
Nach den Gesetzen zur Berechnung von Determinanten kannst Du ja aus jeder Spalte der Matrix das entsprechende [mm] $t_i$ [/mm] ausklammern und erhältst do die Form mit den 1er in der ersten Zeile (bzw. Spalte).
> und x ist von der eigenschaft her ja eigentlich eine ecke
> von den LOP's oder? mir ist noch nicht klar, wie ich von
> der determinante auf die eigenschaft von y schließen kann?
Hattet Ihr vielleicht die Cramersche Regel schon? Damit könnte man die Lösung gut in Zusammenhang mit den Koeffzienten und [mm] $\vec [/mm] x$ bringen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:17 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Marc!
Vielen dank für deine tipps. ja das mit dem rausziehen is cool, dann gilt doch:
det (A) = [mm] t_1 [/mm] * [mm] t_2 [/mm] * ... * [mm] t_n [/mm] * [mm] \produkt_{1\leqi
und da alle [mm] t_k \not= [/mm] 0 ist die [mm] det(A)\not=0 [/mm] , also invertierbar.
hmm, die cramersche regel kenn ich schon, nur wie würdest du damit die lösung in zhsg mit den komponenten von x bringen?
für Ax=y wäre doch dann
i.te Komponente von x: [mm] x_i [/mm] = [mm] \frac{det(A_i)}{det(A)} [/mm] , wobei die i.te Spalte von [mm] A_i [/mm] durch y ersetzt wird, oder?
dann hängen die [mm] x_i [/mm] ja von den einträgen der matrix ab... nur wie zeigt man diesen zhsg mit den nullen...?
*grübel'* kannst du mir da bitte weiterhelfen?? *please*
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Riley,
> Vielen dank für deine tipps. ja das mit dem rausziehen is
> cool, dann gilt doch:
> det (A) = [mm]t_1[/mm] * [mm]t_2[/mm] * ... * [mm]t_n[/mm] * [mm]\produkt_{1\leqi
> - [mm]t_i)[/mm] oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und da alle [mm]t_k \not=[/mm] 0 ist die [mm]det(A)\not=0[/mm] , also
> invertierbar.
>
> hmm, die cramersche regel kenn ich schon, nur wie würdest
> du damit die lösung in zhsg mit den komponenten von x
> bringen?
Ich hatte gehofft, dass die [mm] $\det(A_i)$ [/mm] wieder Vandermondesche Determinanten sind, aber da hatte ich mich vorhin vertan.
> für Ax=y wäre doch dann
> i.te Komponente von x: [mm]x_i[/mm] = [mm]\frac{det(A_i)}{det(A)}[/mm] ,
> wobei die i.te Spalte von [mm]A_i[/mm] durch y ersetzt wird, oder?
> dann hängen die [mm]x_i[/mm] ja von den einträgen der matrix ab...
> nur wie zeigt man diesen zhsg mit den nullen...?
> *grübel'* kannst du mir da bitte weiterhelfen?? *please*
Tut mir leid, ich weiß auch nicht weiter... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 14.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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