Vandermondesche Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hier nur eine Frage
Wir hatten die Vandermondesche Determinante dreireihig gegeben und sollten das Ergebnis beweisen.
Analog sollten wir dies für die vierreihige machen, wobei wir da kein Ergebnis vorgegeben haben.
Meines lautet:
[mm] (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{2})(x_{4}-x_{3})
[/mm]
Vielleicht hat ja jemand Lust, das nachzurechnen oder findet dazu irgendwo einen Eintrag. Wie gesagt mir gehts nur da drum, ob ich das richtig gemacht habe oder nicht.
Danke schon mal
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo sunshinenight,
ich behaupte: "das stimmt" - da ja, wie jeder weiß,
[mm] V_{n}(x_{1},.....,x_{n})= \produkt_{i,j;J>i}{}(x_{j}-x_{i})
[/mm]
lg
Herby
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hallo, ich habe dazu nochmal eine Frage.
Wie lauten eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für
[mm] V(x_{1},x_{2},x_{3}) \not= [/mm] 0
[mm] V(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{2}-x_{1})
[/mm]
Die Summen an sich müssen ungleich 0 sein, aber was ist denn nun hinreichend und notwendig?
danke schon mal
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
ein produkt ist ja genau dann gleich null, wenn einer der faktoren null ist. somit ist hier eien hinriechende und eine notwendige bedingung für [mm] $V(x_1, x_2, x_3) [/mm] = 0$, dass
[m] x _3 - x_1 = 0 \quad \vee \quad x_1 - x_2 = 0 \quad \vee \quad x_2 - x_3 = 0 [/m]
oder äquivalent
[m] x _3 = x_1 \quad \vee \quad x_1 = x_2 \quad \vee \quad x_2 = x_3 [/m].
also ist eine hinreichend und notwenduge bedingung, dass die vandermondsche determinante null ist, dass mindestnes zwei der zahlen [mm] $x_i$ [/mm] übereinstimmen.
wenn du mit dieser antwort noch nicht zurechtkommst, kannst du gerne rückfragen stellen.
grüße
andreas
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