Var(X) mit X=UV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 12.02.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Seien U und V unabhängig, U gleichverteilt auf [0,1] und V gleichverteilt auf [mm] \{0,1\}.
[/mm]
Berechne die Varianz von X:=UV |
Hallöle ihr Lieben,
ich habe Probleme mit der Aufgabe.
[mm] Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
[/mm]
da U,V unabhängig ist gilt ja E(UV)=E(U)E(V)
also
[mm] Var(X)=Var(UV)=E((UV)^2)-(E(UV))^2=E(U^2V^2)-(E(U)E(V))^2 [/mm] = [mm] E(U^2)E(V^2)-E(U)^2E(V)^2
[/mm]
oder?
Nun habe ich Probleme mit der gleichverteilheit.
Auf einem Intervall [a,b] wäre ja die Dichtefkt
[mm] f_X(x)= \begin{cases} \bruch{1}{b-a}, & \mbox{für } x \in [a,b] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}, [/mm] aber [mm] \{0,1\} [/mm] ist ja eine Menge. Wie soll ich das verstehen?
[mm] f_U(u)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0,1] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
und könnte damit zb. E(U) [mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0} [/mm] u du = 1 bestimmen
[mm] E(U^2)=\integral_{-\infty}^{\infty}u^2f_U du=\integral^{1}_{0} u^2 [/mm] du= [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Ist das so korrekt??
Aber ich habe Probleme mit V gleichverteilt auf [mm] \{0,1\}.
[/mm]
Vielen Dank ? schönes Wochenende noch :)
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Hiho,
V ist eine diskrete Zufallsvariable, damit auch [mm] $V^2$.
[/mm]
Wie ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert?
Wie würdest du denn den EW von V berechnen?
Was ist also der EW von [mm] $V^2$?
[/mm]
> und könnte damit zb. E(U) $ [mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0} [/mm] $ u du = 1 bestimmen
und hier schaust du dir das letzte Gleichheitszeichen noch mal an
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 12.02.2017 | | Autor: | Noya |
> Hiho,
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> V ist eine diskrete Zufallsvariable, damit auch [mm]V^2[/mm].
> Wie ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable
> definiert?
>
[mm] E(X)=\sum_{i \in I}x_i P(X=x_i)
[/mm]
> Wie würdest du denn den EW von V berechnen?
> Was ist also der EW von [mm]V^2[/mm]?
habe gerade im Skript nachgeguckt, da haben wir gesagt dass der erwartungswert einer diskreten ZV wie folgt definiert ist:
[mm] E(V)=\bruch{b-a}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
wobei die allg. Form auch ginge dann wäre [mm] E(X)=0*\bruch{1}{2}*1*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
okay. [mm] P(V=0)=P(V=1)=\bruch{1}{2} [/mm] wenn nun [mm] W=V^2 [/mm] wäre würde ja trotzdem noch gelten [mm] P(X=0)=P(X=1)=\bruch{1}{2} [/mm] oder? Und somit wäre [mm] E(V^2)=E(W)=\bruch{1}{2} [/mm] oder?
Wenn dem so wäre, dann wäre [mm] Var(UV)=\bruch{5}{48}
[/mm]
>
> > und könnte damit zb. E(U)
> [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0}[/mm] u du
> = 1 bestimmen
>
> und hier schaust du dir das letzte Gleichheitszeichen noch
> mal an
ach nicht aufgepasst. Danke!
[mm] E(U)=\bruch{1}{2} [/mm]
>
> Gruß,
> Gono
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