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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Zu zeigen:
V [mm] (\summe_{j=1}^{n} X_{j} [/mm] )
= [mm] \summe_{j=1}^{n} VX_{j} [/mm] + [mm] \summe_{j\not= k} [/mm] Cov [mm] (X_{j} [/mm] , [mm] X_{k}) [/mm] |
Hallo wir kommen bei dem Beweis irgendwie nicht weiter.
Haben erstmal die linke Seite durch den Erwartungswert ausgedrückt und dann damit bisschen rumgerechnet und umgeformt (also Summen rausgezogen...) und dann steht da am Ende
[mm] (\summe EX_{j})^2 [/mm] - 2 ( [mm] \summe EX_{j} [/mm] * [mm] \summe [/mm] E [mm] (EX_{j}))
[/mm]
+ [mm] (\summe E(EX_{j})^2
[/mm]
aber wie kommt man von hier auf die rechte Seite? Wo kommt dann auf einmal noch das [mm] X_{k} [/mm] her?
würden uns sehr freuen, wenn uns jemand weiterhilft!
LG
Lee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Lee!
> Zu zeigen:
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> V [mm](\summe_{j=1}^{n} X_{j}[/mm] )
> = [mm]\summe_{j=1}^{n} VX_{j}[/mm] + [mm]\summe_{j\not= k}[/mm] Cov [mm](X_{j}[/mm] ,
> [mm]X_{k})[/mm]
> Hallo wir kommen bei dem Beweis irgendwie nicht weiter.
> Haben erstmal die linke Seite durch den Erwartungswert
> ausgedrückt und dann damit bisschen rumgerechnet und
> umgeformt (also Summen rausgezogen...) und dann steht da am
> Ende
> [mm](\summe EX_{j})^2[/mm] - 2 ( [mm]\summe EX_{j}[/mm] * [mm]\summe[/mm] E
> [mm](EX_{j}))[/mm]
> + [mm](\summe E(EX_{j})^2[/mm]
>
> aber wie kommt man von hier auf die rechte Seite? Wo kommt
> dann auf einmal noch das [mm]X_{k}[/mm] her?
>
> würden uns sehr freuen, wenn uns jemand weiterhilft!
Zunächst einmal gilt [mm] $\left(\summe_{i=1}^n X_i\right)^2=\summe_{j,k} X_j*X_k$. [/mm] Unter der letzten Summe versteht man die Summe aus allen möglichen Kombinationen der beiden Indices, also [mm] $(i,j)\in\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,n\}$.
[/mm]
$V [mm] (\summe_{j=1}^{n} X_{j})$
[/mm]
[mm] $=E\left(\left(\summe_{j=1}^{n} X_{j}\right)^2\right)-\left(E\left(\summe_{j=1}^{n} X_{j}\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E(X_{j}*X_k)-\left(\summe_{j=1}^{n} E(X_{j})\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E(X_{j}*X_k)-\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E(X_{j}*X_k)-\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)\underbrace{-\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)+\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)}_{=0}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E(X_{j}*X_k)-\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)-\summe_{j,k} E(X_{k})*E(X_j)+\summe_{j,k} E(X_{j})*E(X_k)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E\left(X_{j}*X_k- X_{j}*E(X_k)-X_{k}*E(X_j)+E(X_{j})*E(X_k)\right)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} E\left((X_{j}-E(X_j))*(X_{k}-E(X_k))\right)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j,k} Cov(X_j,X_k)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j=1}^n V(X_j) [/mm] + [mm] \summe_{j\not=k} Cov(X_j,X_k)$, [/mm] da [mm] $V(x_j)=Cov(X_j,X_j)$
[/mm]
Ich hatte gehofft, Deinen Term in meiner Rechnung zu finden, aber vielleicht hilft meine Rechnung ja trotzdem weiter.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:16 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Lee1601 |
vielen dank für die ausführliche antwort
lg lee
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