Varianz der Stichprobe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe die über die Stichprobe geschätze Varianz der Grundgesamtheit mit einem Konfidenzintervall für den Stichprobenanteilswert geschätzt:
0,2304
Wie könnte ich jetzt die Varianz der Stichprobe berechnen?
Ich habe in einem Buch gelesen, dass es sich bei der Varianz der STichprobe anbietet zu rechnen:
0,2304/n. Aber wieso? Worauf basiert diese Rechnung und kann ich das auch auf andere Rechnungen, wie zB bei der Berechnung der KI für my oder für die Varianz übertragen? (Ich hoffe, man versteh, wie ich das meine)
Ich danke euch!
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> Hallo!
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> Ich habe die über die Stichprobe geschätze Varianz der
> Grundgesamtheit mit einem Konfidenzintervall für den
> Stichprobenanteilswert geschätzt:
> 0,2304
>
> Wie könnte ich jetzt die Varianz der Stichprobe
> berechnen?
>
> Ich habe in einem Buch gelesen, dass es sich bei der
> Varianz der STichprobe anbietet zu rechnen:
> 0,2304/n. Aber wieso? Worauf basiert diese Rechnung und
> kann ich das auch auf andere Rechnungen, wie zB bei der
> Berechnung der KI für my oder für die Varianz
> übertragen? (Ich hoffe, man versteh, wie ich das meine)
Hallo Englein,
ehrlich gesagt verstehe ich nicht so recht, was und
wie du das meinst ...
Was heißt z.B. "KI" und "my" ?
Schildere dein Problem also etwas ausführlicher !
LG Al-Chw.
... aha, "KI" soll wohl für Konfidenzintervall stehen ...
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> my = [mm]\mu[/mm]
Naja, auch das habe ich vermutet. Trotzdem ist mir
nicht klar, was du eigentlich genau wissen möchtest.
Beschreibe doch das Problem etwas ausführlicher,
vielleicht an einem konkreten Beispiel !
LG
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Du hast Recht, ich werde nochmal versuchen mich klarer auszudrücken; das Problem ist nur, dass das eines der Teilthemen ist, die wir immer mal wieder angesprochen bzw Regeln sind, die wir immer mal wieder angewandt haben, aber die wir nie ausführlich besprochen haben - daher bin ich etwas ratlos, worum es eigentlich als Oberthema geht.
Ich habe beispielsweise eine Aufgabe, in der für die Grundgesamtheit X=50,60,70,80,90 der Erwartungswert und die Varianz berechnet wird. (n=2 für die Stichprobe)
E=70, VAR=200
Nun soll die Stichpprobenverteilung der arihtm. Mittels berechnet werden, dies geschieht so:
E=70 und Var=200/n=200/2=100
Ich frage mich: Auf welcher Basis geschieht dies? Denn: In der Aufgabe steht nichts von Normalverteilung.
Ich habe hier mal eine gute Seite in einem Buch gefunden:
http://books.google.de/books?id=kWyyolz9h_sC&dq=assenmacher+induktive+statistik&printsec=frontcover&source=bl&ots=dUJefpzqca&sig=b_eAhihP6_SgRT59EfPBWqqXST0&hl=de&ei=ivK4SoDTBIu4sgbN9p2vBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2#v=onepage&q=ausgew%C3%A4hlte&f=false Tabelle 7.2, letzte Spalte auf Seite 206. Damit scheint es ja etwas zu tun zu haben, aber ich kann hier mit der Spalte gar nichts anfangen.
Vor allem aber (!) mit der letzten Zeile: Da bin ich mit der 2. und 3. Spalte total überfordert; irgendwie hab ich diese Formeln alle schonmal gesehen, aber ich weiß so auf Anhieb nichts mit ihnen anzufangen :(
Leider ist dieses (und noch ein anderes kleines) Thema genau das, wo ich krank war und es bisher noch nicht nacharbeiten konnte. Ich wälze hier schon jede mögliche Literatur, aber je mehr ich lese, desto verwirrter bin ich; dabei kann die Lösung auch so einfach sein. (?)
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Hallo,
ich vermute mal, dass du das folgende meinst. Du hast eine Grundgesamtheit gegeben mit [mm] \mu [/mm] = E(X) und [mm] \sigma^2 [/mm] = Var(X).
Nehmen wir nun an, dass du [mm] \mu [/mm] nicht kennst, dann kann man versuchen den Wert zu schätzen, indem man den Mittelwert der Stichprobe [mm] \overline{X} [/mm] berechnet. [mm] \overline{X} [/mm] ist in w-theoretischen Termini eine Zufallsvariable (das bedeutet hier: der geschätzte Erwartungswert variiert in seinem Wert mit der Stichprobe, d.h. bei unterschiedlichen Stichproben kriegt man unterschiedliche Werte). Wie du sicher weißt, hat jede Zufallsvariable eine Varianz und einen Erwartungswert. für [mm] \overline{X} [/mm] ist
[mm] E(\overline{X}) [/mm] = [mm] \mu [/mm] und [mm] Var(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{\sigma^2}{n}
[/mm]
Suchst du nun den Erwartungswert der ZV [mm] \overline{X}, [/mm] dann ist das identisch mit dem Erwartungswert von X also [mm] \mu. [/mm] Die Varianz von [mm] \overline{X} [/mm] ergibt sich als Bruch aus der Varianz von X durch n.
Ich glaube, dass die meisten erstmal damit Probleme haben zu verstehen, dass Schätzer für statistische Kennwerte selbst Zufallsvariablen sind, die wie alle anderen Zufallsvariablen auch, über eine Erwartungswert und eine Varianz beschrieben werden können. Das ist aber wichtig, da man von Schätzern bestimmte Eigenschaften will: So soll z.B. eine Schätzer immer erwartunsgtreu sein, d.h. der Erwartungswert des Schätzers soll mit der zu schätzenden Größe übereinstimmen (im oberen Fall soll also der Erwartungswert von [mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \mu [/mm] sein).
Zum Schluss: Was hat das ganze mit der Normalverteilung zu tun.
Hier gar nichts, da man zeigen kann, dass der Schätzer für den Erwartungswert einer Verteilung(also [mm] \overline{X} [/mm] für [mm] \mu) [/mm] unabhängig von dem zu Grunde liegenden W-Maß ist, d.h. unabhängig davon, ob X normal, binomial, hypergeometrisch usw. verteilt ist. Du kannst immer [mm] \overline{X} [/mm] benutzen um den Erwartungswert zu schätzen.
Ich hoffe, dass dir das hilft.
Grüße, Steffen
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Mit der Normalverteilung ging es mir darum, dass es in der Aufgabe ´zwar nicht stand, aber als wir die Varianz und den Erwartungswert der Grundgesamtheit bestimmt haben, haben wir gesagt, dass diese normalverteilt sei. Ich dachte, dies wäre vielleicht eine Voraussetzung oder wichtig?
Was sagt mir dann die letzte Spalte aus dem verlinkten Buch? Dass ich unabhängig von der Verteilung für jede Stichprobe so den E(x) und die Varianz für die Stichprobe berechnen kann, wenn ich den Erwarngswert und die Varianz der Grundgesamtheit kenne?
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Hallo,
> Mit der Normalverteilung ging es mir darum, dass es in der
> Aufgabe ´zwar nicht stand, aber als wir die Varianz und
> den Erwartungswert der Grundgesamtheit bestimmt haben,
> haben wir gesagt, dass diese normalverteilt sei. Ich
> dachte, dies wäre vielleicht eine Voraussetzung oder
> wichtig?
Es ist in diesem Fall unwichtig, also wenn du über den arithmetischen Mittelwert den Erwartungswert der Verteilung schätzen willst.
>
> Was sagt mir dann die letzte Spalte aus dem verlinkten
> Buch? Dass ich unabhängig von der Verteilung für jede
> Stichprobe so den E(x) und die Varianz für die Stichprobe
> berechnen kann, wenn ich den Erwarngswert und die Varianz
> der Grundgesamtheit kenne?
Nochmal: Es geht hier um [mm] E(\overline{X}) [/mm] und [mm] Var(\overline{X}). [/mm] Und du kannst beide wie dort angegeben bestimmen. Aber die Formeln dort gelten nur für die Funktion, den Schätzer [mm] \overline{X} [/mm] !!! (die Varianz von [mm] S^2 [/mm] (vgl die letzte Zeile in deinem Buch), das ist der Schätzer für die Varianz einer Verteilung, wird anders berechnet).
OK?
Grüße, Steffen
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Danke soweit! :)
Ich frage mich aber noch:
Wie kann ich mir die Formeln merken, bzw worauf basieren sie, damit ich sie mir ggf. herleiten kann?
Zum Stichprobenmittelwert: Hier ist es ja klar, da die Verteilung zumindest approximativ normalverteilt sein muss. Da gilt ja [mm] N(\mu, Sigma^2/n)
[/mm]
Für den Schätzer nun teile ich es bei einer einfachen Stichprobe für die Varianz durch n bzw muss es beim ZoZ noch mit dem Korrekturfaktor multiplizieren. Okay, kann ich nachvollziehe, aber:
Beim Stichprobenanteil: Hier gilt ja auch erst, wenn ich eine Normalverteilung habe N(p, p(1-p)/n). Wieso ist hier die Varianz nicht wie beim Erwartungswert die Varianz [p(1-p)/n]/n bei einer einfachen Stichprobe?
Und bei der Stichprobenvarianz bin ich dann (bis auf den Erwartungswert) völlig ratlos, woher die Formeln kommen, denn:
Ich habe ja eine Formelsammlung, in der die Formeln für die Stichprobenvarianz stehen, aber hier muss ich unterscheiden in:
ZmZ, ZoZ, heterograd oder homograd, [mm] \mu [/mm] der Grundgesamtheit bekannt oder nicht (das nur beim heterograden Fall).
Keine Formel aber hat hier Ähnlichkeit mit der FOrmel, die für homograd und heterograd in der Literatur in der letzten SPalte steht.
Bei heterograd verstehe ich wohl, dass der [mm] E(S^2)=Sigma^2 [/mm] ist, da erwartungstreu, aber nicht, wieso das im ZoZ nicht gilt, und warum im homograden Fall die Formel fast so aussieht, wie die Varianz beim Stichprobenanteilswert, nur mit n multipliziert.
Und wieso finde ich hier keine Formel mehr für die Varianz?
(Die Formeln der ersten SPalte dazu sind mir natürlich bekannt, auch wenn meine Formelsammlung noch eine andere Formel im heterograden Fall anbietet, für [mm] \mu [/mm] bekannt)
Ich wäre super dankbar, wenn jemand ein wenig Geduld hätte und mir hier helfen könnte :(
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Hallo,
> Danke soweit! :)
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> Ich frage mich aber noch:
> Wie kann ich mir die Formeln merken, bzw worauf basieren
> sie, damit ich sie mir ggf. herleiten kann?
Man kann sich die Formeln über verschiedene Schätzverfahren (z.B. Kleinste-Quadrate, Maximum-Likelihood, Momentenmethode usw.) herleiten. Ich würde es aber einfach auswendig lernen.
> Zum Stichprobenmittelwert: Hier ist es ja klar, da die
> Verteilung zumindest approximativ normalverteilt sein muss.
> Da gilt ja [mm]N(\mu, Sigma^2/n)[/mm]
> Für den Schätzer nun teile
> ich es bei einer einfachen Stichprobe für die Varianz
> durch n bzw muss es beim ZoZ noch mit dem Korrekturfaktor
> multiplizieren. Okay, kann ich nachvollziehe, aber:
>
> Beim Stichprobenanteil: Hier gilt ja auch erst, wenn ich
> eine Normalverteilung habe N(p, p(1-p)/n). Wieso ist hier
> die Varianz nicht wie beim Erwartungswert die Varianz
> [p(1-p)/n]/n bei einer einfachen Stichprobe?
Mh, also jetzt weiß ich nicht was du meinst. Warum willst du immer wieder die Normalverteilung ins Spiel bringen? Die Bestimmung der Varianz von [mm] \overline{X} [/mm] hat nichts mit ZmZ, Zoz oder ähnliches zu tun. Nochmal: Es ist [mm] E(\overline{X}) [/mm] = E(X) und [mm] Var(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{Var(X)}{n}.
[/mm]
Ahh, ok, ich glaube, was dein Problem ist.
1. Ich hatte in meinem frühen Post für Var(X) = [mm] \sigma^2 [/mm] geschrieben und [mm] \sigma^2 [/mm] wird üblicherweise als Symbol für die Varianz der Normalverteilung genommen. So meint ich es dort nicht, bei mir war es ganz allgemein die Varianz von X. Nehmen wir nun aber an, dass X normalverteilt ist und übernehmen diese Konverntion, dann hat X eine Varianz von Var(X) = [mm] \sigma^2 [/mm] und es ergibt sich:
[mm] Var(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{Var(X)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{\sigma^2}{n}
[/mm]
2. Dein ZmZ und ZoZ gibt dir deine Verteilung vor und damit die Var(X), die du in die Formel einsetzen kannst. Nehmen wir ZmZ: Das ist die Bernoulli-Verteilung bzw. die Binomialverteilung. Im Falle das X Bernoulli-verteilt ist, ist Var(X) = (1-p)*p also
[mm] Var(\overline{X}) =\bruch{Var(X)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{(1-p)*p}{n}
[/mm]
Klarer?
>
> Und bei der Stichprobenvarianz bin ich dann (bis auf den
> Erwartungswert) völlig ratlos, woher die Formeln kommen,
> denn:
> Ich habe ja eine Formelsammlung, in der die Formeln für
> die Stichprobenvarianz stehen, aber hier muss ich
> unterscheiden in:
> ZmZ, ZoZ, heterograd oder homograd, [mm]\mu[/mm] der
> Grundgesamtheit bekannt oder nicht (das nur beim
> heterograden Fall).
Die Formeln für den Schätzer für die Varianz kann man wieder mit den o.g. Methoden bestimmen. Dann wieder je nach Verteilung die Werte einsetzen und du kommst auf die Formeln.
Ich hoffe, dass das hilft.
Grüße, Steffen
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> Die Formeln für den Schätzer für die Varianz kann man
> wieder mit den o.g. Methoden bestimmen. Dann wieder je nach
> Verteilung die Werte einsetzen und du kommst auf die
> Formeln.
>
>
Danke soweit Steffen! Ich glaube, ich komme dem schon näher, was ich suche.
Wie aber würdest du das jetzt für die Varianz herleiten? Bei der Varianz tu ich mir ja allgemein am schwersten. Ich sehe das "System" noch nicht (tut mir leid :( ).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie aber würdest du das jetzt für die Varianz herleiten?
> Bei der Varianz tu ich mir ja allgemein am schwersten. Ich
> sehe das "System" noch nicht (tut mir leid :( ).
Moin Englein,
hier kommt dein freundlicher Varianz-Kovarianzberater:
[mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\operatorname{Var}[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}[X_i]=\frac{\operatorname{Var}[X]}{n}$.
[/mm]
Beachte:
(i) Alle [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] sind unabhaengig und
(ii) Alle [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] haben dieselbe Varianz [mm] $\operatorname{Var}[X]$.
[/mm]
vg Luis
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Heißt es, dass ich immer so vorgehen kann (für den Stichprobenmittelwert 1/n Summe X, den Stichprobenanteil 1/n Summe X)
E(..)=der E(X) der Grundgesamtheit
[mm] Varianz(..)=1/(n^2)*Var(X) [/mm] bzw Var/n?
Aber für die Stichprobenvarianz scheint mir das nicht zu klappen, da ich keine eindeutige Formel für diese kenne, so wie für den Mittelwert und den Anteil.
Denn die Frage ist ja, wie komme ich auf die Formeln aus der genannten Literatur in der letzten SPalte, letzte Zeile und wieso steht hier nichts für die Varianz der Stichprobenvarianz? Es gibt ja auch den Erwartungswerts des Mittelwerts ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Heißt es, dass ich immer so vorgehen kann (für den
> Stichprobenmittelwert 1/n Summe X, den Stichprobenanteil
> 1/n Summe X)
> E(..)=der E(X) der Grundgesamtheit
> [mm]Varianz(..)=1/(n^2)*Var(X)[/mm] bzw Var/n?
>
Ja.
> Aber für die Stichprobenvarianz scheint mir das nicht zu
> klappen, da ich keine eindeutige Formel für diese kenne,
> so wie für den Mittelwert und den Anteil.
Die gibt es auch, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, Formel (11) fuer die
Normalverteilung. Fuer andere Verteilungen gibt's entsprechend modifizierte Formeln.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Du kannst immer
> [mm]\overline{X}[/mm] benutzen um den Erwartungswert zu schätzen.
>
Entschuldigung, ich bin etwas kleinlich: Der obige Satz ist korrekt, sofern der
Erwartungswert in der Grundgesamtheit existiert. Beispielsweise gilt das nicht fuer eine Cauchy-verteilte (t(1)-verteilte) Grundgesamtheit.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mi 23.09.2009 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
du hast Recht. Ich hatte kurz die mathematische Strenge aufgegeben  .
Grüße, Steffen
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