Varianz der geom. Verteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss für eien Arbeit die Varianz der gemoetrischen verteilung herleiten und bin in einem Buch auf ne Formel getsoßen, bei der ich an einer Stelle nicht weiterkomme.
V(X)= [mm] \summe_{i=1}^{n} (i-1/p)²*p*(1-p)^i-1
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i² [mm] *p*(1-p)^i-1 [/mm] -2/p² +1/p²
soweit versteh ich es, aber jetzt wird das Summenzeichen aufgelöst und da komm ich dann nichtmehr mit, weil ich nicht weiß, wie man dann auf die 2-p/p² kommt.
= (2-p)/p² - 1/p²= 1-p/p²
Würde mich freuen, wenn mir jemand diesen Schritt erklären könnte. Danke! :)
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Hallo Sister_Act!
> V(X)= [mm]\summe_{i=1}^{n} (i-1/p)²*p*(1-p)^i-1
[/mm]
> =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i² [mm]*p*(1-p)^i-1[/mm] -2/p² +1/p²
Ich hoffe, da steht [mm] $\infty$ [/mm] statt n über dem Summenzeichen...
Du solltest von der geometrischen Reihe
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty} (1-p)^i=\frac{1}{p}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} (1-p)^i=\frac{1}{p}-1$
[/mm]
ausgehen. Ableiten auf beiden Seiten liefert
[mm] $(-1)\cdot\sum\limits_{i=1}^{\infty} i\cdot(1-p)^{i-1}=-\frac{1}{p^2},$
[/mm]
also
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} i\cdot(1-p)^{i-1}=\frac{1}{p^2},$
[/mm]
woraus durch Multiplikation mit p ja auch [mm] $E(X)=\frac{1}{p}$ [/mm] folgt. Nochmaliges Ableiten führt zu
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} i\cdot(i-1)(1-p)^{i-2}=\frac{2}{p^3},$
[/mm]
d.h.es gilt
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} i^2(1-p)^{i-2}=\sum\limits_{i=1}^{\infty} i(1-p)^{i-2}+\frac{2}{p^3}.$
[/mm]
Multiplizierst Du nun beide Seiten mit p(1-p), steht auf der linken Seite die Reihe, die Dich interessiert. Ausrechnen rechts sollte dann das gewünschte Ergebnis bringen. Dabei ist die Reihe auf der rechten Seite durch die bisherigen Rechnungen bereits bekannt.
Viel Erfolg
Brigitte
P.S.: Kann leider im Moment nicht Korrektur lesen. Hoffe, es sind nicht zu viele Tippfehler drin.
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