Varianz per Integral < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Die ZV X habe die Dichte
[mm] f_{X}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \frac{2}{a}(1-\frac{x}{a}) , & 0 < x < a \\\ 0, & \mbox{ sonst.} \end{cases}
[/mm]
Dabei ist a > 0 eine gegebene reelle Zahl.
a) Bestimme die Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz
b) P(a/2 < X < a) |
Aufgabenteil a) habe ich soweit bis zum Erwartungswert gelöst. E(X) = 1/3*a (stimmt mit Lösung überein).
Jetzt hänge ich aber fest. Und zwar bei der Varianz, die ja bei einer stetigen W.-Funktion mit dem Integral berechnet werden kann.
Var(X) = [mm] \int (x-E(X))^{2} [/mm] * f(x)
oder
Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] E(X)^{2}
[/mm]
Wenn ich letztere Formel benutze, brauche ich ja nur noch [mm] E(X^{2}) [/mm] berechnen, da ich E(X) ja schon kenne.
Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich das anstelle. Die Summenformel für E(X) ist ja [mm] \summe_{i} x_{i} \cdot [/mm] P(X=i)
aber da ich die Einzelwahrscheinlichkeiten P(X=i) nicht kenne, bringt mir das ja nichts, richtig? Vorallem weiß ich ja auch nicht, bis wohin i laufen soll.
Bei der Berechnung des obigen Integrals bekomme ich auch nicht die richtige Lösung heraus. Habe es dann nochmal per Matlab gelöst und auch dann komme ich nicht auf die richtige Lösung.
Wo liegt der Fehler bzw. wie gehe ich weiter vor? Ich habe das komische Gefühl, dass ich den Wald vor Bäumen nicht sehe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo pojo,
die x-Werte, mit denen Du arbeitest, sind doch gerade die Werte der Zufallsvariablen. Diese setzt Du ins Quadrat, also
$$ [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] \sum_i x_i^2 \cdot P(x=x_i) \,$$ [/mm] für eine diskrete Verteilung.
Hier hast Du doch aber eine kontinuierliche Verteilung, damit wird aus der Summe ein Integral.
$$ [mm] E(X^2)= \int_0^a x^2 f_X [/mm] (x) [mm] \, [/mm] dx $$
Viele Grüße,
Infinit
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