Varianz v. Häufigk. schätzen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Hanuman |
Hallo,
Ich komme gerade mit einem Problem nicht weiter.
Es soll die Varianz und der Variationskoeffizient VK ermittelt werden. Die Grundgesamtheit ist unbekannt. In der Grundgesamtheit befinden sich 3% gelbe Kugeln. Nun soll festgestellt werden wie hoch der VK für einen Stichprobenumfang von a) 50 b) 200 c) 1000 ... Kugeln ist um daraus zu ermitteln wie viel Kugeln ich ziehen muss damit der Fehler (Variationskoeffizient) in der Stichprobe nur 10% beträgt. Ich nehme dabei eine Normalverteilung der Kugeln in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe an. (Poisson, Binomial und Hypergeom. Verteilung wurden mir schon in diesem Forum empfohlen, welche aber alle Fakultäten enthalten und mit großen Zahlen nicht mehr gut handhabbar sind.)
Ich hab mir überlegt das sich die Varianz durch den Verschiebesatz berechnen lässt (Var(x)=E(x²)-E(x)²). x ist jedoch immer 0,03, da ich bei jeder Ziehung eine Wahrscheinlichkeit von 3% habe. Die Varianz wird aber somit "Null".
Wie kann ich nun die Varianz ermitteln bzw. abschätzen um den VK zu berechnen? Ich tue mich damit ein bisschen schwer da ich ja nur Häufigkeiten habe.
Vielen Dank!
Gruß Alex
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo hanuman!
> Es soll die Varianz und der Variationskoeffizient VK
> ermittelt werden. Die Grundgesamtheit ist unbekannt. In der
> Grundgesamtheit befinden sich 3% gelbe Kugeln. Nun soll
> festgestellt werden wie hoch der VK für einen
> Stichprobenumfang von a) 50 b) 200 c) 1000 ... Kugeln ist
> um daraus zu ermitteln wie viel Kugeln ich ziehen muss
> damit der Fehler (Variationskoeffizient) in der Stichprobe
> nur 10% beträgt. Ich nehme dabei eine Normalverteilung der
> Kugeln in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe an.
> (Poisson, Binomial und Hypergeom. Verteilung wurden mir
> schon in diesem Forum empfohlen, welche aber alle
> Fakultäten enthalten und mit großen Zahlen nicht mehr gut
> handhabbar sind.)
Moment mal. Was ist denn überhaupt die Zufallsvariable, um die es geht? Das fehlt in Deinen Ausführungen wohl, oder?
Ist es die Anzahl von gelben Kugeln in der Stichprobe? Dann ist eine Binomialverteilung durchaus richtig. Und die Sache mit den Fakultäten betrifft ja nur das Problem, konkrete Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Hier geht es doch nur um die Varianz bzw. den Variationskoeffizienten, den ich kenne als
[mm] $VK(X)=\frac{\sqrt{Var(X)}}{E(X)}.$
[/mm]
Bei der Binomialverteilung mit Parametern n und p weiß man ja: E(X)=np und Var(X)=np(1-p), weshalb auch der Variationskoeffizient kein Problem darstellen sollte. Die hypergeometrische Verteilung ist hier nicht angebracht, da man die Mächtigkeit der Grundgesamtheit nicht kennt. Poisson- und Normalverteilung verstehe ich in diesem Zusammenhang nur als näherungsweise Verteilungen für die Binomialverteilung.
> Ich hab mir überlegt das sich die Varianz durch den
> Verschiebesatz berechnen lässt (Var(x)=E(x²)-E(x)²). x ist
> jedoch immer 0,03, da ich bei jeder Ziehung eine
> Wahrscheinlichkeit von 3% habe. Die Varianz wird aber somit
> "Null".
Du kannst doch nicht einfach für die Zufallsvariable X die Zahl 0,03 einsetzen, nur weil diese Zahl als Wahrscheinlichkeit im Aufgabentext vorkommt. Bitte lies noch mal nach, was man unter Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen versteht.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Do 28.04.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo nochmal!
> > Es soll die Varianz und der Variationskoeffizient VK
> > ermittelt werden. Die Grundgesamtheit ist unbekannt. In der
> > Grundgesamtheit befinden sich 3% gelbe Kugeln. Nun soll
> > festgestellt werden wie hoch der VK für einen
> > Stichprobenumfang von a) 50 b) 200 c) 1000 ... Kugeln ist
> > um daraus zu ermitteln wie viel Kugeln ich ziehen muss
> > damit der Fehler (Variationskoeffizient) in der Stichprobe
> > nur 10% beträgt. Ich nehme dabei eine Normalverteilung der
> > Kugeln in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe an.
> > (Poisson, Binomial und Hypergeom. Verteilung wurden mir
> > schon in diesem Forum empfohlen, welche aber alle
> > Fakultäten enthalten und mit großen Zahlen nicht mehr gut
> > handhabbar sind.)
>
> Moment mal. Was ist denn überhaupt die Zufallsvariable, um
> die es geht? Das fehlt in Deinen Ausführungen wohl, oder?
Ich glaube, ich habe gerade verstanden, dass es Dir um die Zufallsvariable X/n geht, also die relative Häufigkeit von gelben Kugeln in der Stichprobe. Dadurch wird das Problem aber auch nicht wesentlich schwieriger, weil wir ja - wie gesagt - die Verteilung von X kennen. Daraus folgt dann $E(X/n)=E(X)/n=p$ und [mm] $Var(X/n)=Var(X)/n^2=p(1-p)/n$. [/mm] Damit solltest Du ohne Weiteres VK(X) bestimmen können.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Hanuman |
Hallo Brigitte!
Vielen Dank für deine Hilfe. Wenn der Stichprobenumfang n groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit p klein ist dann kann ich ja auch mit der Poissonverteilung arbeiten, bei welcher die Varianz dem Erwartungswert entspricht. (Der Variationskoeffizient ist dann ja nur die Wurzel des Erwartungswertes.)
Wie groß sollten die Werte für Erfolgswahrascheinlichkeit und Stichprobenumfang sein, man mit die Poissonverteilung verwendet?
Viele Grüße
Alex
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Die Poissonverteilung ist manchmal eine bequeme Annäherung an die Binomialverteilung:
Für grosses n, z.B. (n>10) und kleines p, (etwa p < 0.05) funktioniert folgende Näherung:
[mm] {n\choose k}p^{k} q^{n-k} \approx \bruch{\mu^k}{k!} e^{-\mu} [/mm] mit [mm] {\mu}=np.
[/mm]
Probiere es mit selber gewählten Werten aus.
Gruss
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