Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 06.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo ihr Lieben,
ich sollte folgende Aufgabe nach der Variation der Konstanten lösen. Ich habe den Lösungsweg aus dem Buch Hans-Jochen-Barsch entnommen. Leider ist meine Lösung nicht richtig und ich finde den Fehler nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
y" + 2y'-3y=6
1.homogene Lösung: [mm] y_h= z_1e^x [/mm] + [mm] z_2e^{-3x}
[/mm]
2. Bestimmung der partikulären Lösung
[mm] y=z_1(x)e^x [/mm] + [mm] z_2(x)e^{-3x}
[/mm]
Zusatzbedingung [mm] z_1'(x)e^x [/mm] + [mm] z_1'(x)e^{-3x}=0
[/mm]
[mm] y'=z_1(x)e^x -3z_2(x)e^{-3x}
[/mm]
y" = [mm] z_1'(x)e^x [/mm] + [mm] z_1(x)e^x -3z_2'(x)e^{-3x}+9z_2(x)e^{-3x}
[/mm]
Eingesetzt in die Ausgangsfunktion erhalte ich:
[mm] (z_1'(x)e^x [/mm] + [mm] z_1(x)e^x -3z_2'(x)e^{-3x}+9z_2(x)e^{-3x})+2(z_1(x)e^x -3z_2(x)e^{-3x}) -3(z_1(x)e^x [/mm] + [mm] z_2(x)e^{-3x})
[/mm]
Ich erhalte folgendes:
1. [mm] z'_1(x)e^x -3z'_2(x)e^{-3x} [/mm] =6
2.Zusatzbedingung [mm] z_1'(x)e^x [/mm] + [mm] z_1'(x)e^{-3x}=0
[/mm]
[mm] z_1'(x)=3/2e^-x
[/mm]
z'_2(x)=3/2e^(3x)
[mm] z_1(x)=-3/2e^{-x} [/mm] + [mm] K_1
[/mm]
[mm] z_2(x)=1/2e^{3x}+K_2
[/mm]
[mm] y=(-3/2e^{-x} [/mm] + [mm] K_1)e^x [/mm] + [mm] (1/2e^{3x}+K_2)e^{-3x}
[/mm]
Wenn ich dies ableite bekomme ich ein Mutant raus. Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Gruss Kuba
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Hallo kuba,
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich sollte folgende Aufgabe nach der Variation der
> Konstanten lösen. Ich habe den Lösungsweg aus dem Buch
> Hans-Jochen-Barsch entnommen. Leider ist meine Lösung
> nicht richtig und ich finde den Fehler nicht. Ich hoffe ihr
> könnt mir helfen.
>
> y" + 2y'-3y=6
>
> 1.homogene Lösung: [mm]y_h= z_1e^x[/mm] + [mm]z_2e^{-3x}[/mm]
>
> 2. Bestimmung der partikulären Lösung
>
> [mm]y=z_1(x)e^x[/mm] + [mm]z_2(x)e^{-3x}[/mm]
>
> Zusatzbedingung [mm]z_1'(x)e^x[/mm] + [mm]z_1'(x)e^{-3x}=0[/mm]
>
> [mm]y'=z_1(x)e^x -3z_2(x)e^{-3x}[/mm]
>
> y" = [mm]z_1'(x)e^x[/mm] + [mm]z_1(x)e^x -3z_2'(x)e^{-3x}+9z_2(x)e^{-3x}[/mm]
>
> Eingesetzt in die Ausgangsfunktion erhalte ich:
>
> [mm](z_1'(x)e^x[/mm] + [mm]z_1(x)e^x -3z_2'(x)e^{-3x}+9z_2(x)e^{-3x})+2(z_1(x)e^x -3z_2(x)e^{-3x}) -3(z_1(x)e^x[/mm]
> + [mm]z_2(x)e^{-3x})[/mm]
>
> Ich erhalte folgendes:
>
> 1. [mm]z'_1(x)e^x -3z'_2(x)e^{-3x}[/mm] =6
> 2.Zusatzbedingung [mm]z_1'(x)e^x[/mm] + [mm]z_1'(x)e^{-3x}=0[/mm]
>
Diese Gleichung muss doch so lauten:
[mm]z_{1}'(x)e^{x} + z_{\red{2}}'(x)e^{-3x}=0[/mm]
Aus dieser Gleichung folgt:
[mm]z_{2}'=-z_{1}'*e^{4x}[/mm]
>
> [mm]z_1'(x)=3/2e^-x[/mm]
[mm]z_1'(x)=3/2e^{-x}[/mm]
> z'_2(x)=3/2e^(3x)
Hier fehlt ein "-":
[mm]z'_2(x)=\red{-}3/2e^{3x}[/mm]
>
> [mm]z_1(x)=-3/2e^{-x}[/mm] + [mm]K_1[/mm]
> [mm]z_2(x)=1/2e^{3x}+K_2[/mm]
>
> [mm]y=(-3/2e^{-x}[/mm] + [mm]K_1)e^x[/mm] + [mm](1/2e^{3x}+K_2)e^{-3x}[/mm]
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> Wenn ich dies ableite bekomme ich ein Mutant raus. Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen
>
> Gruss Kuba
>
>
Gruss
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