Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | y'-y*tan(x)+sin(x)=0 |
Hallo,
diese DGL soll ich mit Variation der Konstanten lösen. Soweit so gut...
Durch Trennung der Variablen und integrieren komme ich dann auf ln|y| = -ln|cosx| - cos|x| + C
Wenn ich jetzt nach y auflöse komme ich auf
y = -cosx - e^cosx * C. Dann wird C = K(x) und ich leite einmal nach y ab und setzte den Ausdruck dann in die ursprüngliche Funktion ein. Leider kürzt sich dann mein K(x) nicht raus ich komme. Bevor ich diese endloslange Ableitung abtippe... Stimmt mein Ansatz bis hier hin oder habe ich falsch entlogarithmiert?
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 25.09.2011 | | Autor: | abakus |
> y'-y*tan(x)+sin(x)=0
> Hallo,
> diese DGL soll ich mit Variation der Konstanten lösen.
> Soweit so gut...
> Durch Trennung der Variablen und integrieren komme ich
> dann auf ln|y| = -ln|cosx| - cos|x| + C
> Wenn ich jetzt nach y auflöse komme ich auf
> y = -cosx - e^cosx * C. Dann wird C = K(x) und ich leite
> einmal nach y ab und setzte den Ausdruck dann in die
> ursprüngliche Funktion ein. Leider kürzt sich dann mein
> K(x) nicht raus ich komme. Bevor ich diese endloslange
> Ableitung abtippe... Stimmt mein Ansatz bis hier hin oder
> habe ich falsch entlogarithmiert?
Hallo,
Da ist einiges im Argen.
Zunächst mal scheint mir die Beschreibung des bisherigen Lösungsweges sehr knapp zu sein. Müsstest du nicht erst einmal die zugehörige homogene DGl lösen?
Zum zweiten Teil der Frage:
Aus ln y=a-b folgt [mm] y=e^{a-b}=\bruch{e^a}{e^b}.
[/mm]
Das Auftreten einer Differenz in deinem Ergebnis dürfte also nicht sein, da hätte ich einen Quotienten erwartet.
Reden wir mal gar nicht davon, dass du sämtliche Betragsstriche deines Ansatzes plötzlich weggelassen hast.
Gruß Abakus
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> Viele Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Aber meine DGL ist doch homogen. Die kann ich doch lösen, in dem ich die Variablen trenne.
Das heißt für mich, dass ich y'=dy/dx= y*tanx - sinx. Daraus folgt dann: dy/y = tanx - sinx dx
Das wird dann integriert und ich komme auf ln|y| = -ln|cosx| -cosx + C.
Wie mache ich jetzt richtig weiter? Ich steh grad ein wenig auf dem Schlauch, sorry.
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Hallo,
> Aber meine DGL ist doch homogen. Die kann ich doch lösen,
> in dem ich die Variablen trenne.
> Das heißt für mich, dass ich y'=dy/dx= y*tanx - sinx.
> Daraus folgt dann: dy/y = tanx - sinx dx
> Das wird dann integriert und ich komme auf ln|y| =
> -ln|cosx| -cosx + C.
>
> Wie mache ich jetzt richtig weiter? Ich steh grad ein wenig
> auf dem Schlauch, sorry.
>
Deine DGL
y'=y*tan(x) - sin(x)
ist inhomogen!
Die homogene DGL lautet:
dy/dx=y*tan(x)
Trenne nun die Variablen der homogenen DGL:
[mm] $\frac{1}{y} \; [/mm] dy = tan(x) [mm] \; [/mm] dx$
[mm] $\int \frac{1}{y} \; [/mm] dy = [mm] \int [/mm] tan(x) [mm] \; [/mm] dx$
$ln|y|= [mm] \; [/mm] -ln|cos(x)|+C'$
[mm] $y_h=\frac{C}{cos(x)}$
[/mm]
Weiter mit Variation der Konstanten:
[mm] $y=\frac{C(x)}{cos(x)}$
[/mm]
Leite ab:
[mm] $y'=\frac{C'}{cos(x)}+C*\frac{sin(x)}{(cos(x))^2}$
[/mm]
Setze nun y und y' in die inhomogene DGL ein...
Übrig bleibt:
$C'(x)=-sin(x)*cos(x)$
Integriere:
$C(x)= [mm] \; [/mm] - [mm] \frac{(sin(x))^2}{2}+D$
[/mm]
Setze C(x) ein in $ [mm] y=\frac{C(x)}{cos(x)} [/mm] $
$y= [mm] \; [/mm] - [mm] \frac{sin^2(x)}{2*cos(x)}+\frac{D}{cos(x)}$
[/mm]
Überprüfe die Richtigkeit der Lösung durch Einsetzen in die inhomogene DGL.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 25.09.2011 | | Autor: | easy_rider |
Danke, das hat quasi meinen Knoten gelöst... super Antwort!
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