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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Variation der Konstanten 2
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Variation der Konstanten 2: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
a) Lösen Sie das Anfangswertproblem

[mm] x`=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] , x(1)=1

und zwar sowohl per Durchführung der Methode "Variation der Konstanten" wie durch die Anwendung der allgemeinen Lösungsformel

[mm] x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds} [/mm]

b) Gegeben sei ein Teilchen der Masse m in einer Flüssigkeit. Die zeitabhängige Sinkgeschwindigkeit v=v(t) des Teilches wird durch die Diff`gleichung

[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=mg [/mm]

modelliert, wobei k [mm] \in \IR [/mm] ein Reibungsfaktor und g die übliche Gravitationskonstante ist. Berechnen Sie die allgemeine Lösung und die Lösung zur Anfangsbedingung [mm] v(0)=v_0 [/mm]

a) [mm] x'=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] , x(1)=1

homogene Lösung

[mm] x'=-\bruch{1}{t}x [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}=-\integral{\bruch{1}{t} dt} [/mm]

[mm] x=C*e^{-ln|t|} [/mm]

inhomogene Lösung:

[mm] x=C(t)*e^{-ln|t|} [/mm]

[mm] x'=C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t}) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})=-\bruch{1}{t}C(t)*e^{-ln|t|}+lnt [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

C'(t)=lnt


C(t)=t*ln(t)-t

Anfangwertproblem:

x(1)=1


[mm] 1=C*e^{-ln|1|} [/mm]

1=C

Ich bitte um Korrektur. musste ich eigentlich die inhomogene Lösung bestimmen? die habe ich gar nicht gebraucht um das Anfangswertproblem zu bestimmen

        
Bezug
Variation der Konstanten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 So 25.05.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> a) Lösen Sie das Anfangswertproblem
>  
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>  
> und zwar sowohl per Durchführung der Methode "Variation
> der Konstanten" wie durch die Anwendung der allgemeinen
> Lösungsformel
>  
> [mm]x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds}[/mm]
>  
> b) Gegeben sei ein Teilchen der Masse m in einer
> Flüssigkeit. Die zeitabhängige Sinkgeschwindigkeit v=v(t)
> des Teilches wird durch die Diff'gleichung
>  
> [mm]m\bruch{dv}{dt}+kv=mg[/mm]
>  
> modelliert, wobei k [mm]\in \IR[/mm] ein Reibungsfaktor und g die
> übliche Gravitationskonstante ist. Berechnen Sie die
> allgemeine Lösung und die Lösung zur Anfangsbedingung
> [mm]v(0)=v_0[/mm]
>  a) [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>  
> homogene Lösung
>  
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x[/mm]
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} dx}=-\integral{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>  
> [mm]x=C*e^{-ln|t|}[/mm]
>  
> inhomogene Lösung:
>  
> [mm]x=C(t)*e^{-ln|t|}[/mm]
>  
> [mm]x'=C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})=-\bruch{1}{t}C(t)*e^{-ln|t|}+lnt[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> C'(t)=lnt
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]C'\left(t\right)=\red{e^{+ln|t|}}*\ln\left(t\right)[/mm]


>
> C(t)=t*ln(t)-t
>  
> Anfangwertproblem:
>  
> x(1)=1
>  
>
> [mm]1=C*e^{-ln|1|}[/mm]
>  
> 1=C
>  
> Ich bitte um Korrektur. musste ich eigentlich die
> inhomogene Lösung bestimmen? die habe ich gar nicht
> gebraucht um das Anfangswertproblem zu bestimmen


Gruss
MathePower

Bezug
                
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Variation der Konstanten 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt

hallo,

der fehler ist aber nicht so relevant, da ich das Anfangswertproblem (doofes wort) ohne die inhomogene Lösung gelöst habe

für das anfangswertproblem brauch ich doch nur die homogene lösung oder?

Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 25.05.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> hallo,
>  
> der fehler ist aber nicht so relevant, da ich das
> Anfangswertproblem (doofes wort) ohne die inhomogene
> Lösung gelöst habe

>


Der Fehler ist sogar sehr entscheidend.
Diese führt dann  auf eine falsche Lösung.


> für das anfangswertproblem brauch ich doch nur die
> homogene lösung oder?


Nein, für das Anfangswertproblem, brauchst Du die
Lösung der gesamten DGL (homogener Teil und
inhomogener Teil).


Gruss
MathePower

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Variation der Konstanten 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt

aso mit der homogenen lösung kann ich das anfangswertproblem nicht lösen, weil die homogene lösung nicht die lösung der kompletten diff'gleichung ist


korrektur:

[mm] C'(t)=e^{ln|t|}*ln|t| [/mm]

[mm] C'(t)=t\*ln|t| [/mm]

[mm] C(t)=\integral{t\*ln|t|dt} [/mm]

u=ln|t|

[mm] C(t)=\integral{(e^u)^2*u du}=\integral{e^{2u}*u du} [/mm]

[mm] C(t)=\bruch{u}{2}e^{2u} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{2u}+C [/mm]

[mm] C(t)=\bruch{ln|t|}{2}t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}t^2+C [/mm]

ich bitte um korrektur. wie löse ich nun das Anfangswertproblem für x(1) = 1?

gebe ich t=1 als Funktionswert für C(t) ein?

Bezug
                                        
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Variation der Konstanten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 25.05.2014
Autor: leduart

Hallo
dein C(t) ist richtig, das setzt du in
$ [mm] x=C(t)\cdot{}e^{-ln|t|} [/mm] $ ein und hast damit die allgemeine Losung, in die du den Anfangswert einsetzt um C zu bestimmen.
Gru0 leduart

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Bezug
Variation der Konstanten 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt

ich habe noch eine frage zur Formel

[mm] x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds}) [/mm]

was wäre A(t), A(s) und g(s) in meinem fall?

Bezug
                                                        
Bezug
Variation der Konstanten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 So 25.05.2014
Autor: fred97


> ich habe noch eine frage zur Formel
>  
> [mm]x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds})[/mm]
>  
> was wäre A(t), A(s) und g(s) in meinem fall?

Gegeben ist die lin. Dgl

  x'(t)=a(t)x(t)+g(t)

A ist eine Stammfunktion von a.


Noch eine Frage:

bei

$ [mm] x'=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] $ , x(1)=1

hast Du dauernd [mm] e^{- \ln |t|} [/mm] geschrieben. Warum ? Es ist doch t>0 , also

  [mm] e^{- \ln |t|}=e^{- \ln t}=1/t [/mm]

FRED


Bezug
                                                                
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Variation der Konstanten 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt


> Noch eine Frage:
>  
> bei
>
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>
> hast Du dauernd [mm]e^{- \ln |t|}[/mm] geschrieben. Warum ? Es ist
> doch t>0 , also
>  
> [mm]e^{- \ln |t|}=e^{- \ln t}=1/t[/mm]

wegen copy and paste habe ich das wohl übersehen

>  
> FRED
>  


Bezug
        
Bezug
Variation der Konstanten 2: aufg b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt

[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=mg [/mm]

homogene Lösung:

[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] m\integral{ \bruch{1}{v}dv}=-k\integral{ 1dt} [/mm]

[mm] m\*ln|v|=-kt+C [/mm]

[mm] ln|v|=-\bruch{k}{m}t+C_2 [/mm]

[mm] v=C*e^{-\bruch{k}{m}t} [/mm]

inhomogene Lösung

Konstante Variieren: [mm] v=C(t)*e^{-\bruch{k}{m}t} [/mm]

[mm] v'=C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t}) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t}))+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg [/mm]


[mm] m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}- C(t)*k*e^{-\bruch{k}{m}t}+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg [/mm]

[mm] mC'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t} [/mm] = mg

[mm] C'(t)=g*e^{\bruch{k}{m}t} [/mm]

[mm] C(t)=g*\bruch{m}{k}*e^{\bruch{k}{m}t}- \bruch{m^2}{k^2}*e^{\bruch{k}{m}t} [/mm]

ich bitte um korrektur


Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 So 25.05.2014
Autor: Herby

Hallo,

> [mm]m\bruch{dv}{dt}+kv=mg[/mm]

>

> homogene Lösung:

>

> [mm]m\bruch{dv}{dt}+kv=0[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]m\integral{ \bruch{1}{v}dv}=-k\integral{ 1dt}[/mm]

>

> [mm]m\*ln|v|=-kt+C[/mm]

>

> [mm]ln|v|=-\bruch{k}{m}t+C_2[/mm]

>

> [mm]v=C*e^{-\bruch{k}{m}t}[/mm]

>

> inhomogene Lösung

>

> Konstante Variieren: [mm]v=C(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}[/mm]

>

> [mm]v'=C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t})[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t}))+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg[/mm]

>
>

> [mm]m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}- C(t)*k*e^{-\bruch{k}{m}t}+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg[/mm]

>

> [mm]mC'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}[/mm] = mg

>

> [mm] C'(t)=g*e^{\bruch{k}{m}t} [/mm]

[daumenhoch]

> [mm]C(t)=g*\bruch{m}{k}*e^{\bruch{k}{m}t}- \bruch{m^2}{k^2}*e^{\bruch{k}{m}t}[/mm]

[kopfkratz3]

das Integral, das du lösen musst, lautet doch:

[mm] \integral{g*e^{at}dt}=g*\integral{e^{at}dt}=.... [/mm]

Anm.: [mm] a=\frac{k}{m} [/mm]

und das setzt du anschließend in [mm] v=C(t)*e^{-at} [/mm] ein, ein bisschen kürzen und dann die Anfangbedingung einsetzen.

Grüße
Herby

Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:12 So 25.05.2014
Autor: arbeitsamt


> das Integral, das du lösen musst, lautet doch:
>  
> [mm]\integral{g*e^{at}dt}=g*\integral{e^{at}}=....[/mm]
>  
> Anm.: [mm]a=\frac{k}{m}[/mm]

ah mein fehler war, dass ich g als eine variable gesehen habe und die partielle integration angewendet habe


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