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Variation einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 So 24.07.2011
Autor: Sachsen-Junge

Hallo liebes Team,

ich habe ein Verständnisproblem bei folgenden Beweis.

Der Satz lautet: Es ist f von beschränkter Variation auf [a,b] genau dann, wenn f als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen geschrieben werden kann.

Beiweis.

[mm] "\Rightarrow" [/mm]

Da f von beschränkter Variation auf [a,b] ist, dann ist f auch von beschränkter Variation auf [a,x] mit [mm] x\in [/mm] [a,b]. Man setzt

g(x)= [mm] V_{a}^{x}(f) [/mm]
[mm] h(x)=V_{a}^{x}(f)-f(x). [/mm]

Im Skript steht, das es offentsichtlich ist, dass g mononton wachsend ist. Woran sehe ich das, oder besser, welches Argument gilt hier?


Meine Ausführung:

g(x)= [mm] V_{a}^{x}(f)\ge sup\{\sum_{k=1}^{i}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|:a=x_1<...
Das ist leider nicht kluges, weil es einfach die Definition der Variation ist.....:-(

Ich bin für Tipps sehr dankbar.

Liebe Grüße

Junge



        
Bezug
Variation einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 24.07.2011
Autor: fred97

Nimm x,y [mm] \in [/mm] [a,b] mit y<x und zeige: $ [mm] V_{a}^{y}(f) \le V_{a}^{x}(f) [/mm] $

Wenn Z eine Zerlegung von [a,y] ist, so ist [mm] Z_0:=Z \cup [/mm]  { x } eine Zerlegung von [a,x]

FRED


Bezug
                
Bezug
Variation einer Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:36 So 24.07.2011
Autor: Sachsen-Junge

Hallo Fred,

es gelten deine Bedingungen.

Es sei i<j.

[mm] V_{a}^{y}= sup\{\sum_{k=1}^{i}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|:a=x_1<...
Ich glaube, ich habe es Verstanden. Durch den Betrag der Differenz der Funktionswerte, wird meine Funktion g immer größer, wenn ich das Intervall der Variation vergrößer.

LG

Junge

Bezug
                        
Bezug
Variation einer Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 26.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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