Vekt.produkt invariant Drehung < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie eine lineare Koordinatentransformation S --> S' mit einer konstanten orthonormalen Matrix, die eine Drehung beschreibt. Zeigen Sie das das Vektorprodukt in S' dieselbe Form hat wie in S, d.h:
[mm] \overrightarrow{u} [/mm] x [mm] \overrightarrow{v } [/mm] = [mm] \overrightarrow{w}, w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i} [/mm] * [mm] u^{j} [/mm] * [mm] v^{k} [/mm] <--> [mm] w^{i'}=\summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^_{i'} [/mm] * [mm] u^{j'} [/mm] * [mm] v^{k'} [/mm]
und
[mm] \overrightarrow{b_{j}} [/mm] x [mm] \overrightarrow{b_{k}}= \summe_{i=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b_{i}} <-->\overrightarrow{b_{j'}} [/mm] x [mm] \overrightarrow{b_{k'}}= \summe_{i'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^_{i'} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b_{i'}} [/mm]
mit demselben vollstädnig antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol. |
Mein Ansatz für die erste Beidngung:
[mm] w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i} [/mm] * [mm] u^{j} [/mm] * [mm] v^{k} [/mm]
Nun habe ich uj und vk durch die gestrichenen Komponenten ersetzt:
[mm] w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i} [/mm] * [mm] (\summe_{m'=1}^{3} u^{m'} \bruch{\partial x^j}{\partial x^m'}) [/mm] * [mm] (\summe_{s'=1}^{3} v^{s'} \bruch{\partial x^k}{\partial x^s'})
[/mm]
Nun habe ich umsortiert:
[mm] w^{i}=\summe_{s',m'=1}^{3} u^{m'}* v^{s'}* \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i} [/mm] * [mm] \bruch{\partial x^j}{\partial x^m'}* \bruch{\partial x^k}{\partial x^s'}
[/mm]
Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter, ich möchte gerne die letzte Summe zu einem Levi-Civita-Symbol umformen.
Ich würde mich freuen , wenn ihr mir weiter helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Sa 21.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachten Sie eine lineare Koordinatentransformation S -->
> S' mit einer konstanten orthonormalen Matrix, die eine
> Drehung beschreibt. Zeigen Sie das das Vektorprodukt in S'
> dieselbe Form hat wie in S, d.h:
>
> [mm]\overrightarrow{u}[/mm] x [mm]\overrightarrow{v }[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{w}, w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^_{i}[/mm]
> * [mm]u^{j}[/mm] * [mm]v^{k}[/mm] <--> [mm]w^{i'}=\summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^{i'}[/mm]
> * [mm]u^{j'}[/mm] * [mm]v^{k'}[/mm]
> und
> [mm]\overrightarrow{b_{j}}[/mm] x [mm]\overrightarrow{b_{k}}= \summe_{i=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{b_{i}} <-->\overrightarrow{b_{j'}}[/mm] x
> [mm]\overrightarrow{b_{k'}}= \summe_{i'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^_{i'}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{b_{i'}}[/mm]
> mit demselben vollstädnig antisymmetrischen
> Levi-Civita-Symbol.
> Mein Ansatz für die erste Beidngung:
> [mm]w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} * u^{j} * v^{k}[/mm]
> Nun habe ich uj und vk durch die gestrichenen Komponenten
> ersetzt:
> [mm]w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} * (\summe_{m'=1}^{3} u^{m'} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{m'}})* (\summe_{s'=1}^{3} v^{s'} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{s'}})[/mm]
>
> Nun habe ich umsortiert:
> [mm]w^{i}=\summe_{s',m'=1}^{3} u^{m'}* v^{s'}* \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} * \bruch{\partial x^j}{\partial x^{m'}}* \bruch{\partial x^k}{\partial x^{s'}}[/mm]
>
> Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter, ich möchte gerne
> die letzte Summe zu einem Levi-Civita-Symbol umformen.
Du hast noch einen Schritt vergessen:
[mm] w^{i'} =\summe_i w^i \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Danke Rainer für deine Antwort, ich mache mal weiter:
Ich habe jetzt einmal die Indizes verändert:
$ [mm] w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} (\summe_{j'=1}^{3} u^{j'} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}})\cdot{} (\summe_{k'=1}^{3} v^{k'} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}) [/mm] $
und fasse die Summen noch einmal zusammen:
$ [mm] w^{i}=\summe_{j',k'=1}^{3} u^{j'}\cdot{} v^{k'}\cdot{} \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} [/mm] $
So jetzt setze ich jetzt den Ausdruck in $ [mm] w^{i'} =\summe_i w^i \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm] $ ein und setzte mit $ [mm] w^{i'}=\summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^_{i'} [/mm] $ * $ [mm] u^{j'} [/mm] $ * $ [mm] v^{k'} [/mm] $ gleich:
$ [mm] \summe_i (\summe_{j',k'=1}^{3} u^{j'}\cdot{} v^{k'}\cdot{} \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}) \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm] = [mm] \summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^_{i'} [/mm] $ *$ [mm] u^{j'} [/mm] * [mm] v^{k'} [/mm] $
und nun müsste ich das noch vereinfachen, sodass eine wahre Aussage entsteht. Aber wie soll ich das machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 22.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke Rainer für deine Antwort, ich mache mal weiter:
>
> Ich habe jetzt einmal die Indizes verändert:
> [mm]w^{i}=\summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} (\summe_{j'=1}^{3} u^{j'} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}})\cdot{} (\summe_{k'=1}^{3} v^{k'} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}})[/mm]
>
> und fasse die Summen noch einmal zusammen:
> [mm]w^{i}=\summe_{j',k'=1}^{3} u^{j'}\cdot{} v^{k'}\cdot{} \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}[/mm]
>
> So jetzt setze ich jetzt den Ausdruck in [mm]w^{i'} =\summe_i w^i \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i}[/mm]
> ein und setzte mit [mm]w^{i'}=\summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^{i'} * u^{j'} * v^{k'}[/mm] gleich:
> [mm]\summe_i (\summe_{j',k'=1}^{3} u^{j'}\cdot{} v^{k'}\cdot{} \summe_{j,k=1}^{3} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}) \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} = \summe_{j',k'=1}^{3} \varepsilon_{j'k'}^{i'} * u^{j'} * v^{k'} [/mm]
>
> und nun müsste ich das noch vereinfachen, sodass eine
> wahre Aussage entsteht. Aber wie soll ich das machen?
Du willst zeigen, dass
[mm] \varepsilon'_{j'k'}^{i'} := \summe_{i,j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm]
gleich [mm] $\varepsilon_{j'k'}^{i'}$ [/mm] ist.
Das einfachste Argument: [mm] $\varepsilon_{jk}^{i}$ [/mm] ist ein unter der genannten Koordiantentransformation invarianter Tensor, also ist das Ergebnis automatisch [mm] $\varepsilon_{j'k'}^{i'}$.
[/mm]
Du kannst aber auch zunächst einmal zeigen, dass [mm] $\varepsilon'_{j'k'}^{i'}$ [/mm] antisymmetrisch ist. Das ist eigentlich offensichtlich, z.B. ist
[mm] \varepsilon'_{k'j'}^{i'} = \summe_{i,j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{k'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{j'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} = \summe_{i,k,j} \varepsilon_{kj}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}\bruch{\partial x^j}{\partial x^{kj'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm]
[mm] = - \summe_{i,k,j} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}}\bruch{\partial x^j}{\partial x^{kj'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} = - \varepsilon'_{k'j'}^{i'} [/mm] .
und die Werte [mm] $\pm1$, [/mm] wenn alle Indizes unterschiedlich sind, ergeben sich aus der Orthonormalität der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Transformationsmatrix.
Schließlich noch folgendes Argument: [mm] $\varepsilon'_{j'k'}^{i'}$ [/mm] ist das Spatprodukt der Spaltenvektoren mit Spaltenindizes $i',j',k'$ und damit genau gleich [mm] $\varepsilon_{j'k'}^{i'}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Ich kann mir nicht vorstellen, wie eine beligige Multiplikation von jeweils drei Matrixeinträgen durcheinander definiert ist. Könntest du mir das noch erklären? Ich kenne nur eine Art der Matrixmultiplikation.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kann mir nicht vorstellen, wie eine beligige
> Multiplikation von jeweils drei Matrixeinträgen
> durcheinander definiert ist. Könntest du mir das noch
> erklären? Ich kenne nur eine Art der Matrixmultiplikation.
Davon habe ich nicht geredet. Ich habe gesagt, dass
[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i}[/mm]
das Spatprodukt dreier Spaltenvektoren der Matrix ist. Das ergibt sich daraus, dass
[mm] \summe_{j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} [/mm]
die i-te Komponente des Vektorprodukts der j-ten Spalte [mm] $\vektor{\bruch{\partial x^j}{\partial x'^1}\\\bruch{\partial x^j}{\partial x'^2}\\\bruch{\partial x^j}{\partial x'^3}}$ [/mm] mit der k-ten Spalte ist.
Viele Grüße
Rainer
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Wir beschäftigen uns erst seit Kurzem mit dem Thema. Daher habe ich davon nicht so viel Ahnung. Ich würde mich freuen, wenn du mir kurz erklären könntest, warum gerade $ [mm] \varepsilon'_{j'k'}^{i'} [/mm] := [mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i} [/mm] $ ist. Ich weiß jetzt schon ,dass es sich hier um ein Spatprodukt handelt. Wenn es dir zu viel Aufwand ist, wäre ich schon über eine Internetseite froh.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir beschäftigen uns erst seit Kurzem mit dem Thema. Daher
> habe ich davon nicht so viel Ahnung. Ich würde mich
> freuen, wenn du mir kurz erklären könntest, warum gerade
> [mm]\varepsilon'_{j'k'}^{i'} := \summe_{i,j,k} \varepsilon_{jk}^{i} \cdot{} \bruch{\partial x^j}{\partial x^{j'}}\bruch{\partial x^k}{\partial x^{k'}} \bruch{\partial x^{i'}}{\partial x^i}[/mm]
> ist.
Das ist die Definition des Symbols [mm] $\varepsilon'_{j'k'}^{i'}$. [/mm] Das habe ich eingeführt, um nicht jedesmal die SUmme schreiben zuu müssen. Es geht doch darum, dass dies wieder der antisymmetrische Tensor [mm] $\varepsilon^{i'}_{j'k'}$ [/mm] ist, also gilt:
[mm] \varepsilon'_{j'k'}^{i'} = \varepsilon^{i'}_{j'k'}[/mm] .
> Ich weiß jetzt schon ,dass es sich hier um ein
> Spatprodukt handelt.
Das Spatprodukt ist antisymmetrisch bei Vertauschung zweier Vektoren. Die Spaltenvektoren der Transformationsmatrix sind paarweise orthogonale Einheitsvektoren. Also ist das Spatprodukt nur dann ungleich 0, wenn alle drei Vektoren verschieden sind (wegen der Orthogonalität). Wenn alle drei verschieden sind, ist es [mm] $\pm [/mm] 1$ (weil es orthogonale Einheitsvektoren sind, die einen Würfel der Kantenlänge 1 aufspannen). Vergleich mit dem [mm] $\varepsilon$-Symbol [/mm] zeigt, dass dieses Spatprodukt entweder gleich [mm] $+\varepsilon^{i'}_{j'k'}$ [/mm] oder gleich [mm] $-\varepsilon^{i'}_{j'k'}$ [/mm] sein muss (denn andere antisymmetrische Tensoren dieser Art gibt es nicht).
Bleibt noch das Vorzeichen zu klären. Nach Voraussetzung beschreibt die Transformationsmatrix eine Drehung, hat also Determinante $+1$. Die Determinante ist gleich dem Spatprodukt der drei Spaltenvektoren in der Matrix (in der Reihenfolge 1.-2.-3. Spalte). also ist obige Summe für $i'=1,j'=2,k'=3$ gleich der Determinante und damit $+1$.
Viele Grüße
Rainer
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