Vektor- und Ebenengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 10. Ein Saal für Tanzveranstaltungen hat die Maße l = 16m; b = 8m und h = 4m. Legen Sie den Koordinatenursprung in die linke untere Ecke, fertigen Sie eine Skizze und erstellen Sie für den Saal
a) die Ebenengleichung [mm] $E_1$ [/mm] für den Fußboden, die Ebenengleichungen [mm] $E_2$ [/mm] und [mm] $E_4$ [/mm] für die Seitenwände, die Ebenengleichung [mm] $E_3$ [/mm] für die Rückwand und die Ebenengleichung [mm] $E_5$ [/mm] für die Decke jeweils in Parameterform.
b) Geben Sie die Gleichungen der Schnittgeraden g der Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$, [/mm] der Ebenen [mm] $E_2$ [/mm] und [mm] $E_3$ [/mm] und der Ebenen [mm] $E_4$ [/mm] und [mm] $E_5$ [/mm] an.
c) Berechnen Sie die Länge einer Raumdiagonalen. |
Hallo zusammen,
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich komm bei den Ebenengleichungen nicht recht weiter. was soll der stützvektor und die zwei richtungsvektoren sein? danke im voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Kemena |
Servus!
Hier erstmal die Ebenengleichung in der Parameterform:
E: [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vec{OP} [/mm] + u [mm] \* \vec{a} [/mm] + v [mm] \* \vec{b}
[/mm]
Und hier die Erklärung:
Mit Hilfe dieser Ebengleichung kannst du jeden Punkt auf der Ebene beschreiben, logisch sonst würde das ja auch nicht Ebenengleichung heißen. [mm] \vec{OP} [/mm] ist ein Vektor vom Ursprung deines Koordinatensystemes zu einem Punkt P auf der Ebene. [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind zwei Vektoren, die in der ebene liegen und nicht parallel bzw. kollinear sind! u und v sind skalare.
so stelle dir vor, du möchtest zu eine bestimmten Punkt X auf der Ebene kommen, wie tust du das? Du startest im Ursprung und bewegst dich über [mm] \vec{OP} [/mm] zu einem Punkt auf der Ebene. Wenn du dich jetzt u-mal in Richtung des [mm] \vec{a} [/mm] - Vektors und v-mal in Richtung des [mm] \vec{b} [/mm] - Vektors bewegst, gelangst du zu deinem Punkt.
Um mich auf deine Frage zu Präzisieren:
[mm] \vec{OP} [/mm] ist der Stützvektor, er "stützt" die Ebene auf dem Koordinaten-Nullpunkt.
[mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind die Richtungsvektoren, sie zeigen in die Richtung, in der die Ebene verläuft.
zu a): [mm] E_{1}: \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u [mm] \* \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + v [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Suche dir einen Punkt in der Ebene und schaue ob du ihn mit der Gleichung erreichst. Hir noch eine Ebenengleichung bei der Die Ebene nicht durch den Ursprung geht:
[mm] E_{4}: \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u [mm] \* \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + v [mm] \* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
zu b):
Eigentlich fast das gleiche Prinzip, nur dass du nicht zwei richtungsvektoren sonder einen brauchst!
g: [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vec{OP} [/mm] + u [mm] \* \vec{a}
[/mm]
P ist ein Punkt auf der Geraden und [mm] \vec{OP} [/mm] der Ortsvektor zu diesem Punkt.
Auch hier gebe ich dir wenigstens ein beispiel:
[mm] g_{3} [/mm] = [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ 4 \\ 0} [/mm] + u [mm] \* \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
zu c) ziemlich einfach eigentlich:
willst du die Länge für den Vektor [mm] \vec{Z}= \vektor{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}} [/mm] berechnen, dann rechne nach dieser Formel:
[mm] |\vec{Z}| [/mm] = [mm] \wurzel{z_{1}² + z_{2}² + z_{3}²}
[/mm]
So den Rest solltest du gepflegterweise alleine schaffen! Übung macht ja den Meister, Übung! ^^
Viel Spaß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen,
hier meine Ergebnisse, passt das so? wollte noch fragen ob die skizze so in ordnung ist?
10 a)
$E_1$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
dann bin unten links in der ecke, koordinatenursprung, nun fahre ich nach hinten je nachdem wie groß die $\lambda$ und dann wieder geradeaus je nachdem wie groß $\kappa$ ist.
$E_2$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
$E_3$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$E_4$: $\vec x = \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$E_5$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
b)
$g_1$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$g_2$: $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
$g_3$: $\vec x = \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
bin mir hierbei aber nicht sicher, ich fahre doch mit dem ortsvektor zu dem punkt wo sich die geraden schneiden und fahre dann je nachdem wie groß $\lambda$ ist darauf, oder?
c)
d: \begin{pmatrix} 16 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}
$ |\vec{d}| $ = $ \wurzel{16}² + {8}² + {4}²} $
$ |\vec{d}| $ = 18,33 m
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Kemena |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das kommt ganz darauf an in welchen Punkt du das Koordinatensystem legst... Ich würde jetzt ganz pauschal den Punkt hinten links nehmen, weil der Raum keine negativen Längen haben kann (aber man weiss ja nie was sich Lehrer so alles denken^^)
Und bei mir ist das koordinatensystem x,y,z so, dass x die horizontale achse, y die vertikale und z die schräge ist. [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Hier einfach mal die Lösungen die Ich herausbekommen habe und die die für dein system gelten:
Meins:
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{3} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{4} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{16 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{5} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Deins:
[mm] E_{3} [/mm] : [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -8} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \kappa \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Der Rest ändert sich nicht, da man für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \kappa [/mm] ja auch negative Werte einsetzen kann und eine Ebene unendliche Ausmaße hat.
zu b)
Du fährst auf einen Punkt auf der Geraden. Die Grade repräsentiert die Schnitte linie der beiden Ebenen.
z.B. Der Schnitt von Ebene 2 und 3 nach deinem Koordynaten-System:
ganz einfach wäre es auf der z-achse um -8 (negativ, weil der positive Teil in Pfeilrichtung ist) nach hinten zu fahren. und dann bist du auf der Geraden. so jetzt brauchst du nur noch einen Vektor der genau auf der Geraden liegt und das ist hier ein Vektor der sich nur in y-Richtung bewegt.
Also ergibt sich für die Lösung: [mm] g_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -8} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ich schätze mal bei dir ist die vertikale Achse die z-Achse und die diagonale die y-achse, dann musst du in den Ergebnissen nur die beiden unteren Zahlen in den Vektoren und x und y in meinen Ausführungen vertauschen.
c) ist übrigens richtig!^^ naja fast, das müsste eine negative 8 in deinem vektor sein (positiv in Pfeilrichtung!) aber da du das ja eh quadrierst ist das fast schon wieder jacke wie hose.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
hallo,
bei mir kommt horizontal, dann die schräge und dann die vertikale. ich wollte nochmals fragen ob dann meine ergebnisse stimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
und ich gehe vom koordinatenursprung links unten, vorne aus. wäre nett wenn es sich jemand anschauen könnte und sagen ob es stimmt? vielen dank im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:15 Sa 05.05.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort. In meinem Mathebuch steht das nach hinten positiv ist und von hinten nach vorne negativ, deshalb habe ich es so geschrieben: [mm] $E_3$: \vec [/mm] x = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ dann passt es doch und bei [mm] $E_5$ [/mm] auch, oder?
hab die schnittgeraden, jetzt so abgeändert, passt dann auch oder?
[mm] $g_2$: \vec [/mm] x = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ \red{0} \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \red{1} \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $g_3$: \vec [/mm] x = $ [mm] \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ \red{1} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
Wäre nett, wenn es sich jemand anschaut und sagt ob es passt. Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Sa 05.05.2007 | | Autor: | itse |
Könnte es sich jemand kurz anschauen, ob es passt? Danke
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wenn Dein Koordinatenursprung vorne links liegt, muss der Stützvektor in der 2. Koordinate [mm] $\red{-} [/mm] \ 8$ heißen.
