Vektor-und Untervektorräume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR^{3} [/mm] sind Untervektorräume von [mm] \IR^{3}
[/mm]
[mm] a)V^{1}={ x\in\IR^{3}| x_{1}+x_{2}=0 }
[/mm]
[mm] b)V^{2}={ x\in\IR^{3}| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0 }
[/mm]
[mm] c)V^{3}={ x\in\IR^{3}| x_{3}=x_{1}+x_{2} } [/mm] |
Hallo Leute, also Untervektorräume müssen ja folgende Bedingungen erfüllen:
1) [mm] x+y\in [/mm] V'
2) [mm] \lambda*x\in [/mm] V'
Also Untervektorräume sind sind ja Teilmengen von Vektorräumen, die diese Bedingungen erfüllen. Leider fehlt mir vielleicht das bildliche Verständnis von solchen Räumen. Zudem weiß ich jetzt nicht, wie ich hier rechnerisch vorgehen soll, da mir diese Bedingungen nicht viel sagen.
Kann mir da jemand helfen und mir das Ganze etwas näher bringen?
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Hallo Owen,
bildlich Vorstellen wird schwer, spätestens ab [mm] \IR^4 [/mm] 
Im [mm] \IR^3 [/mm] sind alle UVR entweder Ebenen, Geraden oder der Nullvektor, aber ob dir das groß weiterhilft, wage ich zu bezweifeln :P
Also als ausführlichere Erklärung mal zu Beispiel 1:
Wir haben [mm]V^1 = \{ x\in\IR^{3}| x_{1}+x_{2}=0 \}[/mm]
Das ist offensichtlich eine Teilmenge vom [mm] \IR^3.
[/mm]
Nun prüfen wir einfach die beiden Kriterien:
Sei x und y aus [mm] V^1, [/mm] welche Bedingung erfüllen dann x und y?
Nun betrachten wir z = x + y und prüfen, ob z die Bedingung ebenfalls erfüllt.
Schreibe dir die Bedingung für x,y und z mal hin und dann ergibt sich der Rest von allein so halb.
Versuch es einfach mal, wir helfen wir schon, wenn du nicht weiterkommst
MfG
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Gono und danke für die Antwort.
Hmm, also welche Bedingungen speziell [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] erfüllen weiß ich nicht genau. Die ergeben in der Summe 0, aber was sagt mir das? Dass das der Nullvektor ist?
Nun, wenn z= [mm] x_{1}+x_{2}, [/mm] dann ist z=0 . Dann habe ich ja noch die zweite Bedingung [mm] \lambda*x, [/mm] die scheinbar auch Null ergeben muss. Wäre [mm] \lambda [/mm] oder x 0, so würde das stimmen. Aber aus der Gleichung [mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm] kann ich nicht sagen, dass x=0 ist.
Bei der zweiten Aufgabe habe ich ja [mm] x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0. [/mm] Nun, wie ist es hier? sage ich hier [mm] z=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}? [/mm] Das würde aber keinen Sinn machen scheint mir.
So richtig ist mir das nicht klar.
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Hallo Owen,
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind ja gar keine Vektoren und ergeben nicht den Nullvektor, sondern von vorn:
[mm]V^1 = \{ x \in \IR^3 | x_1 + x_2 = 0\}[/mm]
Was ist das für eine Menge?
In Worten: Das sind alle Vektoren x aus dem [mm] \IR^3 [/mm] für die die erste Komponente [mm] x_1 [/mm] plus die zweite Komponente [mm] x_2 [/mm] gleich Null ist.
D.h. wenn ich [mm]x = \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] betrachte, dann gilt [mm]x_1 + x_2 = 0[/mm]
Soooo, nun nehme ich mir x und y aus [mm] V^1, [/mm] wie sehen x und y dann aus?
Erstmal sind x und y aus dem [mm] \IR^3 [/mm] und haben damit die Form [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] bzw [mm] (y_1,y_2,y_3). [/mm] Weiterhin liegen sie ja in [mm] V^1 [/mm] und damit gilt was?
Dann betrachte ich z = x +y..... wie sieht z denn aus?
Gilt für z dann auch die Eigenschaft, die [mm] V^1 [/mm] ausmacht? (welche ist das überhaupt?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 So 17.05.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Gono
ok, z müsste nun folgendermaßen aussehen [mm] z=\vektor{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}}=\vektor{x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3}+y_{3}}
[/mm]
Wenn aber nur [mm] x_{1}+x_{2}=0, [/mm] dann muss doch der ganze Ausdruck [mm] \vektor{x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3}+y_{3}}
[/mm]
nicht unbedingt Null sein. Ich verstehe das Ganze nicht.
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> Hallo Gono
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> ok, z müsste nun folgendermaßen aussehen [mm]z=\vektor{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}}=\vektor{x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3}+y_{3}}[/mm]
Korrekt :)
So, nun wollen wir prüfen, ob z [mm] \in V^1 [/mm] ist.
D.h. wir müssen prüfen, ob [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = 0 ist.
Berechne doch mal [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] und berücksichtige dabei, dass x und y in [mm] V^1 [/mm] sein sollen und damit was gilt?
MfG,
Gono.
PS: Nicht aufgeben, wir nähern uns halt schrittweise.
Wenn mans einmal verstanden hat, ists gar net mehr so schwer und es geht ja vorran 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 17.05.2009 | | Autor: | Owen |
[mm] z_{1}+z_{2}=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})
[/mm]
Da [mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm] folgt doch [mm] z_{1}+z_{2}=y_{1}+y_{2}. [/mm] Über y habe ich jedoch keine Informationen. Was ist y und was hat es denn mit V' zu tun?
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> [mm]z_{1}+z_{2}=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})[/mm]
> Da [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm] folgt doch [mm]z_{1}+z_{2}=y_{1}+y_{2}.[/mm]
Sehr gut bis hierhin.
> Über y habe ich jedoch keine Informationen. Was ist y und was
> hat es denn mit V' zu tun?
Na klar hast du über y Informationen.
Denn das UVR-Kriterium sagt ja:
Mit x UND y in V' soll auch z = x + y in V' sein.
Unsere Voraussetzung war ja x UND y aus V' und wir betrachten z = x + y.
Was gilt also für y ebenso wie für x?
Und wenn du das geschafft hast, versuche dich im nächsten Schritt mal am zweiten Teil des Kriteriums, nämlich z = [mm] \lambda [/mm] x.
Am besten mit Voraussetzungen
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 So 17.05.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, heißt das also, dass alles was für x gilt, auch für y gilt? Dann also [mm] y_{1}+y_{2}=0 [/mm] und somit z=0. Erste Bedingung wäre somit erfüllt. Die zweite Bedingung lautet nun [mm] \lambda*x \in [/mm] V' und somit wohl [mm] z=\lambda*x= \lambda*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ x_{3}}. [/mm] Und wie sollte man nun vorgehen?
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> Achso, heißt das also, dass alles was für x gilt, auch für
> y gilt? Dann also [mm]y_{1}+y_{2}=0[/mm] und somit z=0. Erste
> Bedingung wäre somit erfüllt. Die zweite Bedingung lautet
> nun [mm]\lambda*x \in[/mm] V' und somit wohl [mm]z=\lambda*x= \lambda*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=[/mm]
Soweit so gut.
Wie kommst du nun darauf, dass die beiden Komponenten 0 sind?
Der letzte Schritt wäre [mm]=\vektor{\lambda x_{1} \\ \lambda x_{2} \\ \lambda x_{3}}[/mm]
So, wie gehts nun weiter. Naja auch hier musst du nun überprüfen, ob z in V' liegt, also ob gilt [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = 0..... gilt das hier?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 So 17.05.2009 | | Autor: | Owen |
Oh, mit den Komponenten hab ich mich vertan. Na gut, also [mm] z_{1}+z_{2}=\lambda*(x_{1}+x_{2}+y_{2}+y_{1})
[/mm]
Da [mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm] und [mm] y_{2}+y_{1}=0 [/mm] folgt [mm] \lambda*0=0
[/mm]
Hoffe, dass es so richtig ist.
Nun, jetzt die b). Auch hier sollte wieder z=x+y gelten oder (erstes Kriterium)?
Also dann [mm] z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=(x_{1}+y_{1})^{2}-(x_{2}+y_{2})^{2} [/mm] ?
[mm] =x_{1}^{2}+2x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-2x_{2}y_{2}-y_{2}^{2}
[/mm]
[mm] =2x_{1}y_{1}-2x_{2}y_{2}
[/mm]
[mm] =2(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2})
[/mm]
und der Ausdruck [mm] x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2} [/mm] ist wohl nicht 0. Bin ich auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 So 17.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Owen,
ich misch mich auch mal bissl ein...
> Oh, mit den Komponenten hab ich mich vertan. Na gut, also
> [mm]z_{1}+z_{2}=\lambda*(x_{1}+x_{2}+y_{2}+y_{1})[/mm]
> Da [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm] und [mm]y_{2}+y_{1}=0[/mm] folgt [mm]\lambda*0=0[/mm]
>
> Hoffe, dass es so richtig ist.
Fast. Es ist doch [mm] $z=\lambda [/mm] * [mm] x=\begin{pmatrix}\lambda * x_1\\ \lambda *x_2 \\ \lambda * x_3\end{pmatrix}$ [/mm] Dann ist [mm] $z_1+z_2=\lambda *(x_1+x_2)$. [/mm] Aber du hast recht, das Ganze ist gleich null. Und damit ist [mm] $\lambda *x\in V^1\quad \forall \lambda\in\mathbb{R}, \forall x\in V^1$.
[/mm]
> Nun, jetzt die b). Auch hier sollte wieder z=x+y gelten
> oder (erstes Kriterium)?
Na ja, das z definierst du dir wieder als $z:=x+y$. Es soll gelten, dass z auch in [mm] $V^1$ [/mm] liegt.
> Also dann
> [mm]z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=(x_{1}+y_{1})^{2}-(x_{2}+y_{2})^{2}[/mm] ?
Du meinst wohl [mm] $z_1^2\red{-} z_2^2=\ldots$
[/mm]
>
> [mm]=x_{1}^{2}+2x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-2x_{2}y_{2}-y_{2}^{2}[/mm]
> [mm]=2x_{1}y_{1}-2x_{2}y_{2}[/mm]
> [mm]=2(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2})[/mm]
>
> und der Ausdruck [mm]x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}[/mm] ist wohl nicht 0.
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Das stimmt. Zumindest ist der Ausdruck nicht für alle [mm] $x,y\in V^2$ [/mm] gleich null. Und damit hast du schon gezeigt, dass es sich hier um keinen UVR handelt.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 So 17.05.2009 | | Autor: | Owen |
ok, vielen Dank für die Hilfe
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