Vektor Drehung, Spiegelung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 So 20.01.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] beschreibt die Matrix
[mm] $D(\alpha)=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}$ [/mm] eine Drehung der reellen Ebene um den Winkel [mm] \alpha [/mm] mit dem Punkt(0,0) als Zetrum.
a) Geben Sie eine Matrix an, die einen Punkt (x,y) an der y-Achse spiegelt.
b) Geben Sie eine Matrix an, die einen Punkt (x,y) zunächst an der y-Achse spiegelt und anschließend um den Winkel [mm] \alpha=45° [/mm] dreht mit dem Punkt(0,0) als Zentrum. |
kann mir eine auf die Sprünge helfen, ich bin mit der drehung/spiegelung nicht so vertraut:-(
wie geht man an sowas ran ?
die Spiegelung erfollgt ja nur an der y-Achse.
also mus ich jeden einheitsvektor des [mm] \IR^{2} [/mm] um die y-Achse Spiegeln?
[mm] $S(\overrightarrow{e1})=S(\vektor{1 \\ 0})=-1\vektor{1 \\ 0} [/mm] + 0 [mm] \vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $S(\overrightarrow{e2})=S(\vektor{0 \\ 1})=0\vektor{1 \\ 0} [/mm] + 1 [mm] \vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
also wäre meine Matrix zu a) :
[mm] $S=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
Danke im voraus!
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> also wäre meine Matrix zu a) :
> [mm]S=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
ja.
Und wenn Du erst spiegeln willst und dann noch drehen, mußt Du die beiden Matrizen multiplizieren - über die Reihenfolge muß Du nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 20.01.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo, Angela
danke für die Antwort.
kann das noch nicht so bildlich vorstellen :-(
also wenn ich erst Spiegele und dann drehe muss ja das gleiche rauskommen, wenn ich erst drehe und dan Spiegele?
aber matrix ist ja nicht komutativ also ist nicht egal wenn D*S oder S*D mache.
Also kann nich die reinfolge der hintereinanderausführung zu ordnen:-(
wenn ich [mm] S*D(\alpha) [/mm] mache :
$ [mm] S*D(\alpha)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } *\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)} [/mm] = [mm] \pmat{ -cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}$
[/mm]
wenn ich [mm] D(\alpha)*S [/mm] mache :
$ [mm] D(\alpha)*S=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)} [/mm] * [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha)}$
[/mm]
was nun ?
ich würde sagen wenn ich erst spiegeln soll werden die punke erst S übergeben und anschließend D
(von innen nach außén)
also wäre [mm] D(\alpha)*S [/mm] richtige wahl ???
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> also wenn ich erst Spiegele und dann drehe muss ja das
> gleiche rauskommen, wenn ich erst drehe und dan Spiegele?
Nein, das kannst Du auf einem Zettelchen mal ausprobieren.
Zum beispiel mit dem vektor (1,0): wenn Du den erst um 30° drehst und dann an der y-Achse spiegelst, ist das was anderes, als wenn Du erst spiegelst und dann drehst.
> aber matrix ist ja nicht komutativ also ist nicht egal wenn
> D*S oder S*D mache.
Genau.In der regel ist das Ergebnis verschieden.
> also wäre [mm]D(\alpha)*S[/mm] richtige wahl ???
Ja.
Du schreibst doch den Vektor, den Du abbilden willst, hinten hin.
Dann wirkt auf diesen erst die Spiegelung und dann die Drehung.
Gruß v. Angela
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