Vektor bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | a) Gegeben sei eine Basis [mm] \{ v_1 , v_2 \} [/mm] des [mm] \IR [/mm] ^2 . Bestimmen Sie einen Vektor x [mm] \in \IR [/mm] ^2 , so dass die Vektoren [mm] v_1 [/mm] - x , [mm] v_2 [/mm] als auch [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] - x jeweils linear abhängig sind.
b) Zeigen Sie: Sind die Vektoren [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , ......, [mm] v_n [/mm] eines Vektorraumes V linear unabhängig, so sind auch die Vektoren [mm] w_i [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{k} v_k [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n linear unabhängig.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Wie gehe ich jetzt bei diesen Aufgaben vor?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Gegeben sei eine Basis [mm]\{ v_1 , v_2 \}[/mm] des [mm]\IR[/mm] ^2 .
> Bestimmen Sie einen Vektor x [mm]\in \IR[/mm] ^2 , so dass die
> Vektoren [mm]v_1[/mm] - x , [mm]v_2[/mm] als auch [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] - x jeweils
> linear abhängig sind.
>
> b) Zeigen Sie: Sind die Vektoren [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] , ......, [mm]v_n[/mm]
> eines Vektorraumes V linear unabhängig, so sind auch die
> Vektoren [mm]w_i[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{k} v_k[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> linear unabhängig.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Wie gehe ich jetzt bei diesen Aufgaben vor?
Mathematik hat oft mit tüfteln und ausprobieren zu tun.
zu a)
Nimm mal an [mm] v_1, v_2 [/mm] sind die beiden Einheitsvektoren, dann malst Du Dir ein Bild, na ja vieleicht siehst Du dann, das x= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] das Gewünschte leistet
Dann versuche diese Erkenntnis zu verallgemeinern, wenn [mm] v_1, v_2 [/mm] beliebige Basisvektoren sind.
Zu b)
Du hast oben geschrieben: [mm]w_i[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{k} v_k[/mm] . Das ist aber wenig sinnvol, denn dann hätte man: [mm] w_i=v_1
[/mm]
Ich vermute, es soll lauten:
[mm]w_i[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{i} v_k[/mm]
Ist das so ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Zu a):
Für die lineare Abhängigkeit gibt es ja die folgende Formel:
[mm] \lambda_1 [/mm] a + [mm] \lambda_2 [/mm] b + [mm] \lambda_3 [/mm] c = [mm] \vec{0}
[/mm]
Wenn ich das jetzt für meine Aufgabe umforme, sieht es doch so aus:
[mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{0 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt müsste ich doch ein lineares Gleichungssytem aufstellen, oder?
Es mag sein, dass meine Vorstellung falsch ist, denn die Grundlagen sitzen bei mir noch nicht ganz :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zu a):
>
> Für die lineare Abhängigkeit gibt es ja die folgende
> Formel:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] a + [mm]\lambda_2[/mm] b + [mm]\lambda_3[/mm] c = [mm]\vec{0}[/mm]
Das ist keine Formel sondern nur Teil des Satzes :
damit die 3 Vektoren a,b,c lin unabhängig sind darf die Gleichung
[mm] $\lambda_1$ [/mm] a + [mm] $\lambda_2$ [/mm] b + [mm] $\lambda_3$ [/mm] c = [mm] $\vec{0}$
[/mm]
NUR die triviale Lösung [mm] $\lambda_1$ 0$\lambda_2$0 $\lambda_3$ [/mm] =0 haben!
> Wenn ich das jetzt für meine Aufgabe umforme, sieht es
> doch so aus:
>
> [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\
0}[/mm] + [mm]\lambda_2 \vektor{0 \\
1}[/mm] +
> [mm]\lambda_3 \vektor{0 \\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
Nein du willst ja nur 2 lin unabh. Vektoren haben, v1 und (v1+x)
und auch v2 und v2+x
ausserdem sind v1 und v2 allgemeine Basisvektoren.
du musst also einen Vektor x finden so dass [mm] \lambda_1*v1+\lambda_2*(v1+x)=0 [/mm] nur die Losung [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] hat. Das was fred gesagt hat war nur rin Tip für x sehr spezielle v1 und v2, aber vielleicht sehst du ja wie er den "hergestellt" hat.
es muss aber auch für v1=$ [mm] \vektor{1 \\ 2}$ [/mm] und [mm] v2=$\vektor{1 \\ 5}$ [/mm]
oder für v1=$ [mm] \vektor{1 \\- 2}$ [/mm] und [mm] v2=$\vektor{0 \\ 5}$ [/mm] oder beliebigge andere geltem
benutze dabei, dass bekannt ist das [mm] \lambda_1*v1+\lambda_2*v1=0 [/mm] nur die triviale Lösung hat!
(übrigens dein [mm] Vektor\vektor{0 \\ -1}=-v1$ [/mm] ist sicher nicht linear unabh von v1)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich will doch zwei linear abhängige Vektoren haben?!? Jetzt bin ich aber völlig durch den WInd :S:S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nämlich die 2: v1-x und v2 ,
und die 2 : v2-x und v1 zweiten.
also [mm] \lambda_1*v2+\lambda_2(v1-x)= [/mm] 0 nur trivial lösbar und auch
also [mm] \lambda_3*v1+\lambda_2(v2-x)=0 [/mm] nur trivial lösbar
so sollst du ein x finden!
Ich glaub ich hatte im vorigen pos v1+x statt v1-x stehen, dies hier ist jetzt richtig
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Jetzt habe ich mir folgendes zusammengebaut:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1}-\vektor{x} [/mm] = 0
[mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{x} [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] - x [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] - x [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] - x [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_3 [/mm] - x [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
Bin ich auf dem richtigen Weg??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 25.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
ja, das ist schon der richtige Weg!
Jetzt kannst Du Dein x in Anhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] bestimmen und das LGS lösen!
Aber die Aufgabenstellung war doch für zwei Basisvektoren einen VEKTOR x zu finden!
Du rechnest ja nur mit x!
Richtig wäre wohl eher:
[mm] \lambda_1 *\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 *(\vektor{0 \\ 1}-\vektor{x_1 \\ x_2})= [/mm] 0
[mm] \lambda_3 *\vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_2*( \vektor{1 \\ 0}-\vektor{x_1 \\ x_2}) [/mm] = 0
Also hast Du dann:
[mm] \lambda_1 *\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 *\vektor{-x_1 \\ 1-x_2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_3 *\vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_2 *\vektor{1-x_1 \\ -x_2}=0
[/mm]
Und als LGS:
[mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2*x_1=0
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda_1*x_2=0
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda_2*x_1=0
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] - [mm] \lambda_2*x_2=0
[/mm]
Und das ist jetzt aber ganz einfach lösbar ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 25.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist das so richtig:
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_1
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
x= [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
?
Übrigens, vielen Dank für die ausführliche Antwort! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mi 26.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ist das so richtig:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]\lambda_3[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
>
> x= [mm]\vektor{1 \\
1}[/mm]
>
ich versteh das nicht, wo hast du jetzt gezeigt, dass für dieses x es nur Lösungen mit allen [mm] \lambda [/mm] =0 gibt?
Was du allgemein für dein x suchst hab ich dir vor 2 posts gesagt. - es gibt übrigens nicht nur ein mögliches x-
versuchs mal mit x=v1+v2 zu zeigen, dass das ne Lösung ist?
aus [mm] :\lambda_1*\vektor{1\\0}+\lambda_2*(\vektor{0\\1}-\vektor{1\\1}
[/mm]
folgt [mm] \lambda_1-\lambda_2=0
[/mm]
d.h. es gibt eine Lösung z,Bsp [mm] \lambda_1=\lambda_2=1
[/mm]
also sind dein v1 und v2-x nicht linear unabh.
Prüfst du nochmal genau die Aufgabenstellung nach? dein x= [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] ist die Lösung zu einer etwa anderen Aufgabe, die ich ach der Aufgabe b) eher vermutet hätte.
Gruss leduart
|
|
|
|
