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| Aufgabe | [mm] \vec{v_{1}}=(1 [/mm] / 2 / -1)
[mm] \vec{v_{2}}=(-1 [/mm] / 3 / 5)
Vektor [mm] \vec{v_{3}} [/mm] finden, der zusammen mit [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] eine Basis für [mm] \IR^{3} [/mm] bildet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich scheitere gerade an der oben gestellten Aufgabe. Ich weiss wie man eine Basis mit Vektoren bildet, aber nicht wie man einen Vektor zu einer Basis finden soll. Der 2. Teil der Aufgabe ist dann, dass man für den gefundenen Vektor zeigen muss dass er zusammen mit [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] eine Basis für [mm] \IR^{3} [/mm] ist. Wie gehe ich da vor? Ich steh ziemlich auf der Leitung und wäre dankbar für einen ansatz.
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Hallo Wieselwiesel,
> [mm]\vec{v_{1}}=(1[/mm] / 2 / -1)
> [mm]\vec{v_{2}}=(-1[/mm] / 3 / 5)
> Vektor [mm]\vec{v_{3}}[/mm] finden, der zusammen mit [mm]\vec{v_{1}}[/mm]
> und [mm]\vec{v_{2}}[/mm] eine Basis für [mm]\IR^{3}[/mm] bildet.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich scheitere gerade an der oben gestellten Aufgabe. Ich
> weiss wie man eine Basis mit Vektoren bildet, aber nicht
> wie man einen Vektor zu einer Basis finden soll. Der 2.
> Teil der Aufgabe ist dann, dass man für den gefundenen
> Vektor zeigen muss dass er zusammen mit [mm]\vec{v_{1}}[/mm] und
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] eine Basis für [mm]\IR^{3}[/mm] ist. Wie gehe ich da
> vor? Ich steh ziemlich auf der Leitung und wäre dankbar für
> einen ansatz.
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist das doch nicht schwierig.
Bilde das Kreuzprodukt [mm] $\vec{v}_1\times\vec{v}_2=:\vec{v}_3$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vec{v}_3$ [/mm] steht auf beiden anderen senkrecht.
Damit hast du eine Menge mit 3 linear unabh. Vektoren, dh. also für den [mm] $\IR^3$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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Danke für die rasche Antwort!
omg, so einfach ist das? dann wäre also [mm] \vec{v_{3}} [/mm] =(13 / -4 / 5) der gesuchte Vektor, wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe. und Zeigen dass die 3 eine Basis bilden tu ich, indem ich zeige dass sie linear unabhängig sind, oder lieg ich da falsch?
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Hallo nochmal,
> Danke für die rasche Antwort!
> omg, so einfach ist das? dann wäre also [mm]\vec{v_{3}}[/mm] =(13 / -4 / 5) der gesuchte Vektor, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich mich jetzt nicht
> verrechnet habe.
Hast du nicht
> und Zeigen dass die 3 eine Basis bilden
> tu ich, indem ich zeige dass sie linear unabhängig sind,
> oder lieg ich da falsch?
Das könntest du tun, wenn du viel Tagesfreizeit hast 
Die ersten beiden Vektoren sind ja augenscheinlich linear unabhängig, da sie keine Vielfachen voneinander sind, sie spannen also eine Ebene auf.
Der mit dem Kreuzprodukt berechnete Vektor [mm] $v_3$ [/mm] steht senkrecht auf dieser Ebene, also ...
LG
schachuzipus
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> Die ersten beiden Vektoren sind ja augenscheinlich linear
> unabhängig, da sie keine Vielfachen voneinander sind, sie
> spannen also eine Ebene auf.
Das stimmt allerdings, das seh sogar ich 
Ich dachte nur weil in der Aufgabenstellung ausdrücklich steht, zeigen sie dass die 3 eine Basis sind, soll ich das irgendwie rechnerisch darstellen, mit Gauß oder so. aber ich denk wenn ich einfach die erklärung hinschreib, ists auch gut.
DANKE nochmal für die Hilfe!
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