Vektor spiegeln < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 03.05.2009 | | Autor: | nunu |
Hallo
Ich habe ein kleines Problem und zwar ist die folgende Gerad gegeben:
[mm] g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + b * [mm] \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Diese Gerade soll am Punkt P [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] gespiegelt werden.
Und man soll jetzt die gleichung der gespiegelten Gerade angeben aber ich versteh jetzt nicht wie das gehen soll
Muss ich jetzt den ABstand zwischen der Gerade und dem Punkt berechnen oder wie?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 03.05.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Moin,
jop  .
als Zeichnung sieht das ganze etwa so aus:
----------------------------------------> (Gerade)
*
----------------------------------------> (gespiegelte Gerade)
Die Richtungsvektoren beider Geraden bleiben die gleichen, du musst allerdings den Ortsvektor der Geraden ändern. Dafür gehst du genauso vor, als wenn du den Abstand Punkt-Gerade berechnest und erhältst dann beim einsetzen des Parameters (hier b) den Lotfußpunkt. Von diesem Punkt aus bildest du den Vektor [mm] \overrightarrow{Lotfußpunkt-gegebener Punkt} [/mm] und multiplizierst den mit 2 um den Abstand zur gespiegelten Geraden zu haben und um den mit dem Ortsvektor zu verrechnen bzw. davon abzuziehen.
Lg,
Arnie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 03.05.2009 | | Autor: | nunu |
Hm ich habe jetzt für den Abstand einfach berechnet in dem ich Vektor g - Den Ortsvektor von P gerechnet habe. das ganze habe ich mal 2 genomen. Da man ja nicht den Abstand zum Punkt p brauch sondern den doppelten da ja an P nur gespiegelt würd.
Als Abstand habe ich dann 1/3 raus.
Aber wie bekommen ich aus dem Abstand nehn Stützvektor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 03.05.2009 | | Autor: | hawe |
Was soll der Abstand dabei. Du nimmst zwei Punkte auf der Geraden A, B und bildest den Vektor AP, den Du an P dran hängst, gibt A' gespiegelter Punkt. Mit B dito. Dann Gerade A'B' und habe fertig...
Gruß HW
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 03.05.2009 | | Autor: | nunu |
also gut ich nehme meinetwegen für b jetzt mal 2 und setzte das in die Gleichung für die Gerade g ein.
Dann bekomme ich als Punkt [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
so und dann berechne ich den Abstand zwischen P und diesem Punkt den ich jetzt ma A nenne
Also P-A = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Meintest du das so?
und wie gehts dann weiter
|
|
|
| |
|
> also gut ich nehme meinetwegen für b jetzt mal 2 und setzte
> das in die Gleichung für die Gerade g ein.
> Dann bekomme ich als Punkt [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
laß uns festhalten, daß dieser Punkt ein Punkt auf der Geraden g ist.
Du kennst auf der Geraden jetzt zwei Punkte: den Punkt A(5|-3|0) und den Stützpunkt B(3|1|-2).
Hast Du eine Skizze mit der geraden, den beiden Punkten und dem Punkt P ? Wenn nicht: anfertigen.
Nun berechne die beiden Vektoren, die von A bzw. B auf P zeigen, also [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] und overrightarrow{BP}.
>
> so und dann berechne ich den Abstand zwischen P und diesem
> Punkt den ich jetzt ma A nenne
> Also P-A = [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Du hast hier nicht den Abstand berechnet, sondern den Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] - und das ist gut so.
Nun dasselbe mit B.
Wenn Du diese Vekoren nun einfach an P "anklebst", also
[mm] \overrightarrow{0P}+\overrightarrow{AP} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{0P}+\overrightarrow{BP}rechnest,
[/mm]
dann erhältst Du zwei Punkte der an P gespiegelten Geraden, deren Parametergleichung Du jetzt leicht ausrechnen kannst.
Ich hoffe, Du hast Dir die Vorgehensweise an einer Skizze sonnenklar gemacht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Moin,
aus Interesse halber: ist der andre Weg irgendwo falsch vom Ansatz her?
Ich würde [mm] (g:\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP})*\vektor{1\\-2\\1} [/mm] = 0 rechnen und für [mm] b=\bruch{1}{6} [/mm] herausbekommen. In [mm] g:\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP} [/mm] eingesetzt, erhalte ich den Lotfußpunkt(vektor) [mm] \vektor{\bruch{7}{6} \\ \bruch{-2}{6} \\ \bruch{-11}{6}}, [/mm] von dem ich P abziehe um den Vektor [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] zu bekommen, mit zwei multipliziert erhalte ich [mm] \vektor{ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{-8}{3} \\ \bruch{-11}{3}}. [/mm] Den Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{LP}*2 [/mm] erhalte ich [mm] \vektor{ \bruch{4}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{-17}{3}}. [/mm] Somit lautet die gespiegelte Gerade: [mm] g':\overrightarrow{x}=\vektor{ \bruch{4}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{-17}{3}} [/mm] + [mm] b*\vektor{1\\-2\\1}. [/mm]
Würde das Ergebnis auch stimmen? Oder ist der Weg eher unangebracht und passt nicht?
Lg,
Arnie
|
|
|
| |
|
> Moin,
>
> aus Interesse halber: ist der andre Weg irgendwo falsch vom
> Ansatz her?
Hallo,
Dein Ansatz basiert darauf, daß bereits bekannt ist, daß die am Punkt P gespiegelte Gerade parallel zur Geraden g ist.
Ob das erwünscht ist, wissen wir nicht.
Ich hab' Deinen Weg mangels Lust nicht nachgerechnet, die prinzipielle Vorgehensweise über die Lotfußbestimmung ist jedenfalls richtig.
Sie ist jedoch absolut nicht empfehlenswert, weil man viel zu viel rechnen muß. Die Abstands- und Lotfußpunktbestimmung ist hier ein Schuß mit Kanonen auf Schmetterlinge.
Man könnte Deine Vorgehensweise jedoch modifizieren, indem man den Verbindungsvektor zwischen P und dem Stützvektor der Geraden berechnet, diesen zu P addiert.
Damit hat man einen Stützvektor der neuen Geraden, den Richtungsvektor kennt man bereits.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
