Vektor wird abgebildet < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe lautet ungefähr so:
[mm] \alpha:\IR^3\to\IR^3
[/mm]
ist eine lineare Abbildung
Es sind zwei Vektoren gegeben [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] = v-3w
Eigenwert von [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] sind bekannt. Wie kann man herausfinden auf welchen Vektor der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] abgebildet wird?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die Aufgabe lautet ungefähr so:
>
> [mm]\alpha:\IR^3\to\IR^3[/mm]
> ist eine lineare Abbildung
>
> Es sind zwei Vektoren gegeben [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] und
> [mm]\vec{x}[/mm] = v-3w
>
> Eigenwert von [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] sind bekannt.
Sei also [mm] \vec{v} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_2, [/mm]
dann ist [mm] \alpha(\vec{v})=\lambda_1*\vec{v} [/mm] und [mm] \alpha(\vec{w})=\lambda_2*\vec{w}.
[/mm]
> Wie kann
> man herausfinden auf welchen Vektor der Vektor [mm]\vec{x}[/mm]
> abgebildet wird?
>
[mm] \alpha(\vec{x})=\alpha(\vec{v}-3*\vec{w})
[/mm]
Nutze jetzt die Linearität von [mm] \alpha [/mm] und dann die Eigenschaften der Eigenvektoren.
So erhälst du [mm] \alpha(\vec{x}) [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w}.
[/mm]
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:47 Fr 07.02.2014 | | Autor: | kakashi93 |
[mm] \alpha(\vec{x}) [/mm] = [mm] \alpha(\vec{v} [/mm] - [mm] 3\*\vec{w}). [/mm] Auf das wäre ich auch gekommen, jedoch wie kann ich mit [mm] \alpha(\vec{x}) [/mm] die Abbildung errechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
stelle bitte eine Frage auch als Frage und nicht als Mitteilung. Sonst verläuft deine Frage im Sand und wird nicht beantwortet.
> [mm]\alpha(\vec{x})[/mm] = [mm]\alpha(\vec{v}[/mm] - [mm]3\*\vec{w}).[/mm] Auf das
> wäre ich auch gekommen, jedoch wie kann ich mit
> [mm]\alpha(\vec{x})[/mm] die Abbildung errechnen?
[mm] \alpha [/mm] ist doch eine lineare Abbildung.
[mm] \alpha(\vec{v}-3*\vec{w})=\alpha(\vec{v})-3\alpha(\vec{w})=\lambda_1\vec{v}-3\lambda_2\vec{w}
[/mm]
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Also, wäre die Aufgabe beantwortet wen ich nach [mm] \alpha(\vec{v}-3\cdot{}\vec{w}) [/mm] auflöse? Aber dann hab ich überhaupt nichts mit den Eigenwerten gemacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also, wäre die Aufgabe beantwortet wen ich nach
> [mm]\alpha(\vec{v}-3\cdot{}\vec{w})[/mm] auflöse? Aber dann hab ich
> überhaupt nichts mit den Eigenwerten gemacht.
Doch:
$ [mm] \alpha(\vec{v}-3\cdot{}\vec{w})=\alpha(\vec{v})-3\alpha(\vec{w})=\lambda_1\vec{v}-3\lambda_2\vec{w} [/mm] $
[mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] waren doch die Eigenwerte.
FRED
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Sagen wir: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 5
Vektoren: [mm] \vec{v}=\vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] \vec{w}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
So müsste es doch gehen, oder? : [mm] 1\*\vektor{1\\0\\1}-5\*3\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
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Hi,
> Sagen wir: [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 5
>
> Vektoren: [mm]\vec{v}=\vektor{1\\0\\1}[/mm] und
> [mm]\vec{w}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> So müsste es doch gehen, oder? :
> [mm]1\*\vektor{1\\0\\1}-5\*3\vektor{0\\0\\1}[/mm]
Und warum rechnest du das nicht noch aus?
Ich würde dir empfehlen die gesamten Posts noch einmal durchzulesen und alles sauber aufzuschrieben. Eigentlich steckt hier nicht viel Theorie dahinter. Immer nur einsetzen und ausrechnen.
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