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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 25.03.2012 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Es sei W der von den Vektoren [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -3} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] aufgespannte Unterraum von V = [mm] \IR^3.
[/mm]
Bestimmen Sie die beste Approximation an [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] aus W. |
Ich hab es mit der Methode der kleinsten Quadrate versucht, aber komme damit zu keinem Ergebnis.
Ich definiere A := [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 4 & 1 \\ -3 & 1}; [/mm] b := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und stelle damit die Gleichung auf:
[mm] A^T*A*\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] A^T*b
[/mm]
Wenn ich das nach x und y auflöse erhalte ich 85/1624 und -27/56, allerdings kann ich damit nicht [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] approximieren.
Wie muss ich also wirklich vorgehen?
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Hallo sigmar,
> Es sei W der von den Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -3}[/mm] und
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm] aufgespannte Unterraum von V =
> [mm]\IR^3.[/mm]
> Bestimmen Sie die beste Approximation an [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> aus W.
> Ich hab es mit der Methode der kleinsten Quadrate
> versucht, aber komme damit zu keinem Ergebnis.
>
> Ich definiere A := [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 4 & 1 \\ -3 & 1};[/mm] b :=
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und stelle damit die Gleichung auf:
>
> [mm]A^T*A*\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]A^T*b[/mm]
>
> Wenn ich das nach x und y auflöse erhalte ich 85/1624 und
> -27/56, allerdings kann ich damit nicht [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> approximieren.
Dies Lösung stimm nicht.
Poste daher die bisherigen Rechenschritte.
> Wie muss ich also wirklich vorgehen?
Gesucht ist ein Vektor aus W, der zu dem Vektor [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] den kleinsten Abstand hat.
Um diesen Vektor herauszubekommen ist das Gleichungssystem
[mm]A^T*A*\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]A^T*b[/mm]
zu lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 25.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Alles klar:
[mm] A^T*A [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] A^T*b
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{2 & -1\\ 4 & 1 \\ -3 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{29 & -1 \\ -1 & 3} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{29 & -1 \\ 0 & 56} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -27}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{1624 & 0 \\ 0 & 56} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{85 \\ -27}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 85/1624; y = -27/56
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Hallo sigmar,
> Alles klar:
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> [mm]A^T*A[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]A^T*b[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{2 & -1\\ 4 & 1 \\ -3 & 1}[/mm]
> * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 1 & 1 }[/mm] *
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pmat{29 & -1 \\ -1 & 3}[/mm]
> * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pmat{29 & -1 \\ 0 & 56}[/mm]
Hier muss eine andere Zahl stehen:
[mm]\Rightarrow \pmat{29 & -1 \\ 0 & \red{8}6}[/mm]
Der rechte Seite stimmt.
> * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -27}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pmat{1624 & 0 \\ 0 & 56}[/mm]
> * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{85 \\ -27}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x =
> 85/1624; y = -27/56
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 25.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Ach wie blöd, ich verrechne mich aber auch bei ausnahmslos jeder Matrizenumformung...
Ok, wie stelle ich damit jetzt die Approximation dar? Einfach x * [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -3} [/mm] + y * [mm] \vektor{ -1 \\ 1 \\ 1}?
[/mm]
Falls ich mich nicht schon wieder verrechnet habe ist das zumindest gefühlt nicht so die exakte Näherung: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28145%2F2494%29*{2%2C4%2C-3}+%2B+%28-27%2F56%29*{-1%2C1%2C1}
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Hallo sigmar,
> Ach wie blöd, ich verrechne mich aber auch bei ausnahmslos
> jeder Matrizenumformung...
> Ok, wie stelle ich damit jetzt die Approximation dar?
> Einfach x * [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -3}[/mm] + y * [mm]\vektor{ -1 \\ 1 \\ 1}?[/mm]
>
Ja.
> Falls ich mich nicht schon wieder verrechnet habe ist das
> zumindest gefühlt nicht so die exakte Näherung:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28145%2F2494%29*{2%2C4%2C-3}+%2B+%28-27%2F56%29*{-1%2C1%2C1}
Nein, da hast Du Dich nicht verrrechnet.
Den Faktor [mm]\bruch{145}{2494}[/mm] kann man noch kürzen.
Gruss
MathePower
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