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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Do 24.08.2006 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Verbindet man eine Ecke eines Parallelogramms mit den Mitten der nicht anliegenden Seiten, so dritteln diese Strecken die sie schneidende Diagonale |
Hallo alle zusammen,
ich hoffe, ihr könnt euch das zugehörige Bild vorstellen, denn ich hab absolut keinen plan, wie man sowas einfügt.
Zur Aufgabe:
Ich habe leider nicht die leiseste Ahnung, wie ich die lösen kann!
Dankbar für jeden Tipp...
Gruß
Docy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Dima
Versuch mal, über die Strahlensätze zu argumentieren. Das sieht mit am Vielversprechensten aus.
Ein Tipp dazu noch: Wenn du beide Diagonalen einzeichnest, halbiert deren Schnittpunkt diese.
Oder, du versuchst mal, die Kongruenz oder Ähnlichkeit verschidener Dreiecke zu zeigen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 24.08.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Marius,
Strahlensätze hören sich zwar gut an, aber diese Aufgabe soll nur mit Vektoren bewiesen werden.
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Aber du kannst doch zeigen, dass Vektoren gleich lang, bzw. parallel sind. dazu braucht man doch die Strahlensätze.
Nennen wir den Diagonalenschnittpunkt mal M Dann kannst du ja sagen, dass
[mm] |\overrightarrow{AM}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{CM}|
[/mm]
und
[mm] |\overrightarrow{BM}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{DM}|
[/mm]
und
[mm] |\overrightarrow{AM}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} |\overrightarrow{BM}|, [/mm] wenn [mm] \overline{BD} [/mm] die kuze Diagonale ist.
Das ist doch Vektorrechnung kombiniert mit Strahlensätzen.
Kennst du folgende Formel, die könnte weiterhelfen?
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a} \* \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
[/mm]
(In Worten: der Cosinus des Schnittwinkels zwischen zwei Vektoren ist der Quotient aus Skalarprodunkt und dem Produkt der Längen)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 24.08.2006 | | Autor: | Docy |
Tut mir leid, aber ich sehe nicht, wie mir das weiterhelfen soll... :-(
Vielleicht könntest du das ein wenig mehr erläutern?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Na dann versuche ich mal, das ein wenig umzusetzen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu zeigen ist ja:
[mm] |\overrightarrow{AP}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{PQ}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{QC}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} |\overrightarrow{AC}|
[/mm]
Was wir wissen, ist:
1) [mm] |\overrightarrow{AM}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{MC}|
[/mm]
2) [mm] \bruch{|\overrightarrow{MQ}|}{|\overrightarrow{QC}|} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilt jede von ihnen im Verhältnis 1:2).
Daraus können wir auf jeden Fall schon mal folgern, dass
[mm] |\overrightarrow{AP}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{CQ}|
[/mm]
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass [mm] |\overrightarrow{PQ}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{AP}|
[/mm]
Nun, man weiss ja jetzt, dass [mm] |\overrightarrow{MQ}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} |\overrightarrow{QC}| [/mm]
Jetzt weiss man, das [mm] |\overrightarrow{PQ}| [/mm] = [mm] 2|\overrightarrow{MQ}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\overrightarrow{PQ}| [/mm] = 2 [mm] (\bruch{1}{2} |\overrightarrow{QC}|) [/mm] = [mm] |\overrightarrow{QC}|
[/mm]
Das war zu zeigen.
Sorry, jetzt, wo ich das ganze konkret gerechnet habe, fällt mit auf, dass man die Formel mit den Winkeln nicht braucht.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 24.08.2006 | | Autor: | Docy |
Hey, vielen Dank , das ist doch mal eine Antwort!!!
Das mit dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und dem Verhältnis wusste ich nicht, vielen Dank auch dafür!
So gehöhrt es sich für nen Lehrer 
Gruß
Docy
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Hallo,
ich schreibe mal auf, wie ich die Aufgabe nur mit Vektoren gelöst hätte (so habe ich damals auch Aufgaben dieses Typs gelöst).
Ich lege die besagte Ecke in den Ursprung des Koordinatensystems.
Die anliegenden Seiten identifiziere ich mit den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] bzw. [mm] \vec{b}. [/mm] Da wir es mit einem "echten" (Fläche [mm] \not= [/mm] 0) Parallelogramm zu tun haben, sind [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig.
Die Ortsvektoren der Mittelpunkte der beiden anderen Seiten erhalten wir durch Vektoraddition:
[mm]\vec{p} = \vec{a} + \bruch{1}{2}\vec{b} [/mm]
[mm]\vec{q} = \bruch{1}{2}\vec{a} + \vec{b}[/mm]
Die Diagonale wird durch die folgende Geradengleichung beschrieben:
[mm]\vec{x} = \vec{b} + t*(\vec{a}-\vec{b})[/mm],
wobei hier [mm]t\in[0;1][/mm] ist.
Nun suchen wir die beiden Schnittpunkte, indem wir die Vektoren [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] mit Unbekannten r bzw. s skalieren und jeweils mit der Diagonalengleichung gleichsetzen.
1.
[mm]r*(\vec{a} + \bruch{1}{2}\vec{b}) = \vec{b} + t*(\vec{a}-\vec{b})[/mm]
Wir gruppieren nach [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}:
[/mm]
[mm](r + t)*\vec{a} + (\bruch{1}{2}r - t + 1)*\vec{b} = 0[/mm]
Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind (s.o.), müssen beide Klammern 0 werden:
[mm]r + t = 0 \wedge \bruch{1}{2}r - t + 1[/mm]
Wir erhalten die Lösung: [mm](r,t) = (-\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3})[/mm].
Interessant ist hier das t, das das Teilungsverhältnis der Diagonalen angibt.
2.
Hier lösen wir analog:
[mm]s*(\bruch{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} + t*(\vec{a}-\vec{b})[/mm]
und erhalten [mm]t=\bruch{1}{3}[/mm].
Ich denke, das ist auch ein gültiger Lösungsweg.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Do 24.08.2006 | | Autor: | Docy |
Das ist auch ne super Idee! Also, langsam glaube ich, dass sich hier nur Genies herumtreiben (mit Ausnahme meiner Person natürlich)!
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Also, langsam glaube ich, dass sich hier nur Genies herumtreiben
> (mit Ausnahme meiner Person natürlich)!
>
> Gruß
> Docy
Halt, das würde ich so nicht sagen. Das ist doch normal, dass dir hier geholfen wird. Und ausserdem findest du hier mit Sicherheit noch Leute, denen du helfen kannst.
Marius
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