Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 12.05.2005 | | Autor: | Blume123 |
Habe hier diese Aufgabe... ehrlich gesagt kann ich mir erstmal gar nicht vorstellen, wie das Trapez aussehen soll... Deswegen komme ich da schon nciht weiter...
Für die Seitenvektoren a, b, und c eines Trapezes ABCD gelte: Vektor c= -k*vektor a (mit k >0) Der Diagonalenschnittpunkt sei S.
a) Drücke D durch a und b aus
b) Drücke den Vektor s zu AS durch a und b aus.
c) In welchem Verhältnis teitl S die Diagonalen AC und BD?
d) Was gilt im Somderfall k=1?
|
|
| |
|
Hi,
also die Antwort auf d) müsste lauten:
Gilt k = 1, so handelt es sich bei dem Trapez um eine Paralellogramm.
Bei den anderen Teilaufgaben, bin ich mir nicht ganz sicher, deshalb lasse ich lieber anderen den Vortritt.
Gruß
Prof.
|
|
|
| |
|
Hi, Blume,
> Für die Seitenvektoren a, b, und c eines Trapezes ABCD
> gelte: Vektor c= -k*vektor a (mit k >0) Der
> Diagonalenschnittpunkt sei S.
Dann probier' ich's mal! Es gibt nur eine Stelle, wo ich unsicher bin, nämlich bei der Benennung der Vektoren [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{d}.
[/mm]
Die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] hingegen scheinen mir klar: Da sie laut Angabe parallel sind, die Konstante zudem negativ, müsste gelten:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overrightarrow{CD}.
[/mm]
Dann nehm' ich mal an, dass weiter gilt:
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \overrightarrow{DA}.
[/mm]
> a) Drücke D durch a und b aus
Mit D meinst Du wohl [mm] \vec{d}.
[/mm]
Mit meiner obigen Definition der Vektoren gilt:
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] -\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{b} -\vec{a}
[/mm]
= [mm] k*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} -\vec{a} [/mm] = [mm] (k-1)*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
(natürlich Multiplikation mit (-1), wenn [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] sein sollte!)
> b) Drücke den Vektor s zu AS durch a und b aus.
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] m*\overrightarrow{AC} [/mm]
(mit noch zu bestimmender Konstante m zwischen 0 und 1.)
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] m*(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b})
[/mm]
(Immer noch unter der Bedingung, dass meine obigen Bezeichnungen der Vektoren zutreffen!)
> c) In welchem Verhältnis teitl S die Diagonalen AC und
> BD?
Dazu bilden wir die geschlossene Vektorkette ASBA, also:
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] (***)
Die Vektoren der Vektorkette im Einzelnen:
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] m*(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] -\vec{a}
[/mm]
Am schwierigsten ist [mm] \overrightarrow{SB}. [/mm] Wir lösen dies so ähnlich wie bei Aufgabe b:
[mm] \overrightarrow{SB} [/mm] = [mm] n*\overrightarrow{DB} [/mm] (mit unbek.Konst. n)
[mm] \overrightarrow{DB} [/mm] = [mm] -\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
oder:
[mm] \overrightarrow{DB} [/mm] = [mm] k*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
Also:
[mm] \overrightarrow{SB} [/mm] = [mm] n*(k*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b})
[/mm]
(wobei k jeweils als vorgegeben betrachtet werden muss!)
Alles in (***) einsetzen:
[mm] m*(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}) [/mm] + [mm] n*(k*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Ausmultiplizieren und umordnen:
(m + nk - [mm] 1)*\vec{a} [/mm] + (m - [mm] n)*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Nun sind die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ja offensichtlich LINEAR UNABHÄNGIG. Daher müssen beide Klammern =0 sein:
I. m + nk - 1 = 0
II. m - n = 0.
Aus der 2. Gleichung ergibt sich m = n.
Eingesetzt in I: m + mk - 1 = 0
m(k+1) = 1
m = [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] (ebenfalls =n!)
Die Strecke [AS] ist also [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] von [AC]; daher ist [SC] [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] von [AC]. Die beiden Brüche verhalten sich wie 1 : k; daher ist dies auch das gesuchte Teilverhältnis:
S teilt sowohl die Strecke [AC] als auch [BD] im Verhältnis 1 : k.
> d) Was gilt im Sonderfall k=1?
Dann teilt S beide Strecken im Verhältnis 1 : 1;
S ist in diesem Fall der Mittelpunkt der beiden Diagonalen;
das Trapez - wie schon erwähnt (Professor!) - ist ein Parallelogramm.
Fragen?
|
|
|
|
