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Hallo zusammen ich schreibe morgen meine letzte Matheklausur für dieses Schuljahr & hab folgendes Problem bei dieser Aufgabe :
Gegeben sind die Punkte A ( 6|4|0), B ( 1|4|0), C (1|1|4) und D ( 6 | 1 |4)
a) Weisen sie nach, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. Hab ich bereits -> es ist ein Quadrat seitenlänge alle 5
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Diagonalschnittpunkts
Das versteh ich jetzt nicht... die aufgaben hat eine Lösung und die besagt:
B) Diagonale 1: [mm] \vektor{6 \\ 4\\ 0} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ 3\\ -4}
[/mm]
Diagonale 2: h: [mm] \vektor{1 \\ 4\\ 0} [/mm] + n* [mm] \vektor{-5 \\ 3\\ -3} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Schnittpunkt S = [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Wie kommt man darauf ? Bitte kleinschrittig erklären, wenn es geht...
Bitte schnell antworten :(
LG DESERT
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Hallo Desert-Rose,
da gibt es auch nicht viel zu verstehen. Die Lösung ist falsch.
Der Diagonalenschnittpunkt ist [mm] S=\vektor{3,5\\2,5\\2}
[/mm]
Es gibt ja mindestens zwei Wege, den Mittelpunkt des Quadrats zu erreichen (und das ist ja zugleich der Diagonalenschnittpunkt).
1) Du bestimmst die beiden Diagonalen-Geradengleichungen. Die beiden aus der Lösung sind ja falsch. Die erste dort ist die Gerade [mm] \overline{AD}, [/mm] die zweite die Gerade [mm] \overline{BD}, [/mm] mit einem Tippfehler in der z-Koordinate des Richtungsvektors. Die schneiden sich dann gar nicht überraschend eben im Punkt D.
Gesucht sind aber die Geraden [mm] \overline{A\red{C}} [/mm] und [mm] \overline{BD}.
[/mm]
2) Andere Möglichkeit: Du gehst z.B. von Punkt A eine halbe Kantenlänge weit in Richtung B, dann eine halbe Kantenlänge weit in die darauf senkrechte Richtung und bist auch am Mittelpunkt.
In Vektoren: [mm] \vec{s}=\vec{a}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}
[/mm]
...und wenn man das weiter aufdröselt, stellt man fest, dass man auch einfach von A aus die halbe Strecke nach C hätte laufen können und die kürzeste Berechnung dann diese ist:
[mm] \vec{s}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\bruch{1}{2}(\vec{b}+\vec{d})
[/mm]
- und das ist in jedem Quadrat so, auch in jedem Rechteck, sogar in jedem Parallelogramm! Erinnere Dich mal an die Geometrie der Mittelstufe.
Viel Erfolg bei Deiner Klausur morgen. Wenn Du noch Fragen zu dieser oder einer anderen Aufgabe hast, melde Dich hier im Forum. Genau dafür ist es da.
Grüße
reverend
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Ich bin so ein dummchen ... -.- tut mir wirklich sehr leid ich hab mich vertippt es heißt bei h: [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 0} [/mm] + n * {-5 [mm] \\ [/mm] 3 [mm] \\-4} [/mm]
Tut mir wirklich leid :(
Es ist eine Lösung aus dem Buch
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Lieber reverend,
ich hatte anfangs gedacht die antwort bzw. dein gedanken gang wär aufgrund des einen angegebenen Vektors( welchen ich falsch angegeben hatte), falsch... aber als ich mir alle beiträge hier nochmal angeschaut hab ... fand ich deine mit abstand so ziemlich am plausibelsten.. 
Heißt das man bildet nichts anderes als den Mittelpunkt einer strecke vgl. http://www.mathe-online.at/materialien/ursl/files/mit1.gif -> also vektor OM = 1/2 *( vektor OA+ vektor OB) ?
Vielen lieben Dank an alle
LG DESERT :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
"plausibel" find ich eigentlich kein angemessenes wort hier. entweder, man sieht etwas ein, dazu macht ma ne Zeichnung, oder nicht. Plausibel kann ich dir machen, dass du heute abend früh schlafen gehen solltest.
du willst nicht die Mitte zw A und B sondern zw A und C. also ist dein Punkt NICHT der Diagonalenpunkt.
Gruss leduart
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Tut mir leid, dass dich meine Wortwahl dermaßen stört mit Plausibel hab ich nichts anderes gemeint , als dass es für mir anhand desser klar ist !
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> Tut mir leid, dass dich meine Wortwahl dermaßen stört mit
> Plausibel hab ich nichts anderes gemeint , als dass es für
> mir anhand desser klar ist !
, als dass es für mich anhand der erklärung reverends klar ist*
Gruss Desert
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> 2) Andere Möglichkeit: Du gehst z.B. von Punkt A eine
> halbe Kantenlänge weit in Richtung B, dann eine halbe
> Kantenlänge weit in die darauf senkrechte Richtung und
> bist auch am Mittelpunkt.
>
> In Vektoren:
> [mm]\vec{s}=\vec{a}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}[/mm]
Also heißt das wenn man nicht die Ortvektoren von den Punkten nutzt muss man immer von A ausgehen und die hälfte der " Differenzvektoren" (beispielsweise) AB & AD gehen um auf den Mittelpunkt "Ma" zu kommen ?
> ...und wenn man das weiter aufdröselt, stellt man fest,
> dass man auch einfach von A aus die halbe Strecke nach C
> hätte laufen können und die kürzeste Berechnung dann
> diese ist:
>
> [mm]\vec{s}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\bruch{1}{2}(\vec{b}+\vec{d})[/mm]
Das wär jetzt wenn man die Ortsvektoren von A & C nutzt oder?
Ich hoffe ich habs verstanden
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch, lies den post doch bitte genauer
gruss leduart
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> > 2) Andere Möglichkeit: Du gehst z.B. von Punkt A eine
> > halbe Kantenlänge weit in Richtung B, dann eine halbe
> > Kantenlänge weit in die darauf senkrechte Richtung und
> > bist auch am Mittelpunkt.
> >
> > In Vektoren:
> >
> [mm]\vec{s}=\vec{a}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}[/mm]
>
> Also heißt das wenn man nicht die Ortvektoren von den
> Punkten nutzt muss man immer von A ausgehen und die hälfte
> der " Differenzvektoren" (beispielsweise) AB & AD gehen um
> auf den Mittelpunkt "Ma" zu kommen ?
Ortsvektor ist hier der Falsche Begriff meine den Ausgangspunkt A :)
> > ...und wenn man das weiter aufdröselt, stellt man fest,
> > dass man auch einfach von A aus die halbe Strecke nach C
> > hätte laufen können und die kürzeste Berechnung dann
> > diese ist:
> >
> >
> [mm]\vec{s}=\bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\bruch{1}{2}(\vec{b}+\vec{d})[/mm]
>
> Das wär jetzt wenn man die Ortsvektoren von A & C nutzt
> oder?
Okay hab gemerkt, dass ich falsche begrifflichkeit verwendet hab ... meine natürlich vom Ursprung (0|0|0)
ausgehe und die schritte gehe
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand doch alles
"$ [mm] \vec{s}=\vec{a}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC} [/mm] $ "
mit [mm] \vec{a}=\vec{OA}
[/mm]
deine bezeichnungen waren unklatmit etwa c=0C ist es richtig.
Gruss leduart
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> Gegeben sind die Punkte A ( 6|4|0), B ( 1|4|0), C (1|1|4)
> und D ( 6 | 1 |4)
> a) Weisen sie nach, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
> Hab ich bereits -> es ist ein Quadrat seitenlänge alle 5
Hallo,
ich hätte da eine kleine Nebenfrage:
Wie hast du gezeigt, dass ABCD wirklich ein Quadrat ist ?
Du schreibst nur etwas von den Seitenlängen. Wenn du
jedoch bei einem Viereck nur nachweist, dass alle Seiten
gleich lang sind, dann muss es noch längst kein Quadrat
sein - es ist dann nicht einmal garantiert, dass es sich
um ein ebenes Viereck handelt !
LG Al-Chw.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ich hätte da eine kleine Nebenfrage:
> Wie hast du gezeigt, dass ABCD wirklich ein Quadrat ist ?
>
> Du schreibst nur etwas von den Seitenlängen. Wenn du
> jedoch bei einem Viereck nur nachweist, dass alle Seiten
> gleich lang sind, dann muss es noch längst kein Quadrat
> sein - es ist dann nicht einmal garantiert, dass es sich
> um ein ebenes Viereck handelt !
>
> LG Al-Chw.
Es ist auf alle Fälle ein Quadrat , denn ich hab einfach die Vektoren AB ; BC ; CD und DA berechnet und dann dementsprechend die Längen der Seiten ausgerechnet
sprich |vektor AB| = \wurzel{ 25+ 0+ 0 = 5
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* sprich |vektor AB| = [mm] \wurzel{ 25+ 0+ 0} [/mm]
= 5
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Do 07.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
was Al-Chwarizmi dir sagen wollte: es reicht nicht aus, zu zeigen, dass die vier Längen gleich sind. Ein Quadrat ist ein Viereck, dessen Seitenlängen gleich groß und dessen Winkel sämtlich rechte Winkel sind. Was du gezeigt hast, ist dass es eine Raute ist, mehr nicht.
Gewöhnlich geht man so vor:
- stelle von einem Punkt aus die Vektoren zu zwei benachbarten Eckpunkten auf.
- Zeige, dass die Summe dieser beiden Vektoren gleichzeitig die Diagonale des Vierecks ist.
Jetzt hast du gezeigt, dass es ein Parallelogramm ist.
- Nun zeige, dass zwei benachbarte Seiten gleich lang sind und dass der von den beiden o.g. Vektoren gebildete Winkel ein rechter ist.
Nun hast du den Nachweis für ein Quadrat.
Gruß, Diophant
PS:
Und noch eine Bitte: stelle bitte nicht grundlos den Status deines Startbeitrags auf 'Unbeantwortet' zurück.
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was ich vergessen hatte ich hab natürlich bewiesen dass die einzelnen vektoren orthogonal zueinander sind ...
also dass auch die von den Vektoren gebildeten Winkel-> rechtwinklig sind. Vektor AB * AD = 0 usw...
Ich bin einbisschen durch den Wind weil ich schon etwas länger an der Aufgabe sitze... Entschuldigt mich für die Tippfehler und die Auslassung an Informationen
Tut mir wirklich sehr leid :/
Also :
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Diagonalschnittpunkts
Diagonale 1: g: [mm] \vektor{6 \\ 4\\ 0} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ 3\\ -4} [/mm] $
Diagonale 2: h: [mm] \vektor{1 \\ 4\\ 0} [/mm] + n* [mm] \vektor{-5 \\ 3\\ -4} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Schnittpunkt S = [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 4} [/mm]
Ich hoffe es erklärt sich trotz dieses Missverständnis jemand bereit mir das zu erklären.
Liebe Grüße & vielen Dank
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> Hallo,
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> was Al-Chwarizmi dir sagen wollte: es reicht nicht aus, zu
> zeigen, dass die vier Längen gleich sind. Ein Quadrat ist
> ein Viereck, dessen Seitenlängen gleich groß und dessen
> Winkel sämtlich rechte Winkel sind. Was du gezeigt hast,
> ist dass es eine Raute ist, mehr nicht.
... eben nicht einmal das !
So hat etwa das Viereck ABCD mit A(0/0/0), B(1/0/1),
C(1/1/0), D(0/1/1) vier gleich lange Seiten, aber es
ist kein Parallelogramm !
LG Al
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Ich hab doch in meiner letzten Mitteilung hinzugefügt, dass ich die Orthogonalität sowie die , identischen Seitenlängen der Vektoren bewiesen habe...
Ist das trotzdem immer noch falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein , jetzt reicht es.
Zum Diagonalenschnittpunkt:die buchloesung ist sehr umstaendlich! wenn su von A aus den Vektor [mm] \vec{AB}/2+\vec{BC}/2 [/mm] bildest bist du am Mittelpunkt.
Dwin Buch stellt die Geraden durch A C und die Gerade B D her
also [mm] g=A=k*\vec{AC}, h=B+s*\vec{BD}
[/mm]
dann bestimmt es den Schnittpunkt , wie man den Schnittpkt von 2 geraden findet weisst du hiffentlich.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 07.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart und vor allem: hallo Desert-Rose,
> Zum Diagonalenschnittpunkt:die buchloesung ist sehr
> umstaendlich! wenn su von A aus den Vektor
> [mm]\vec{AB}/2+\vec{BC}/2[/mm] bildest bist du am Mittelpunkt.
> Dwin Buch stellt die Geraden durch A C und die Gerade B D
> her
> also [mm]g=A=k*\vec{AC}, h=B+s*\vec{BD}[/mm]
> dann bestimmt es den
> Schnittpunkt , wie man den Schnittpkt von 2 geraden findet
> weisst du hiffentlich.
Das steht schon alles in meinem ersten Post, siehe oben. Da steht auch, wie es noch leichter geht. Man könnte sich hier oft viel Arbeit sparen, wenn die Anfragenden wenigstens die Güte hätten, auch die Antworten ganz zu lesen.
Grüße
reverend
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> Ich hab doch in meiner letzten Mitteilung hinzugefügt,
> dass ich die Orthogonalität sowie die , identischen
> Seitenlängen der Vektoren bewiesen habe...
Meine Mitteilung bezog sich nicht auf deine, sondern
auf die von Diophant !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Do 07.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
ja, du hast natürlich Recht. Man muss vorher (was ich vergaß) noch fordern, dass die vier Punkte komplanar sind. In deinem Beispiel ist dies nicht so: es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder.
Danke für deine Wachsamkeit.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hallo,
> >
> > was Al-Chwarizmi dir sagen wollte: es reicht nicht aus, zu
> > zeigen, dass die vier Längen gleich sind. Ein Quadrat ist
> > ein Viereck, dessen Seitenlängen gleich groß und dessen
> > Winkel sämtlich rechte Winkel sind. Was du gezeigt hast,
> > ist dass es eine Raute ist, mehr nicht.
>
> ... eben nicht einmal das !
>
> So hat etwa das Viereck ABCD mit A(0/0/0), B(1/0/1),
> C(1/1/0), D(0/1/1) vier gleich lange Seiten, aber es
> ist kein Parallelogramm !
ich stimme Dir zu bei allem, was Du hier geschrieben hast. Was andere hier (anfangs) vergessen hatten, ist, dass man sozusagen auch ebene Flächen "in den Raum ziehen kann".
Dein Viereck wird also nicht alle Punkte in einer gemeinsamen Ebene haben. Wenn ich zeigen will, dass vier Punkte eines Raumes also ein Quadrat bilden, hat man sich eigentlich über mehrere Sachen Gedanken zu machen:
1. Liegen die vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene?
2. Gleichgroße Seitenlängen?
3. Winkel?
Gruß,
Marcel
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> Wenn ich zeigen will, dass vier
> Punkte eines Raumes also ein Quadrat bilden, hat man sich
> eigentlich über mehrere Sachen Gedanken zu machen:
>
> 1. Liegen die vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene?
>
> 2. Gleichgroße Seitenlängen?
>
> 3. Winkel?
Ja.
Nach meiner Ansicht kommt man mit dem geringsten
Aufwand aus, wenn man etwa zeigt:
1.) [mm] $\overrightarrow{AB}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{DC}$
[/mm]
2.) [mm] $\overrightarrow{AB}* \overrightarrow{AC}\ [/mm] =\ 0$
3.) [mm] $\overrightarrow{AB}* \overrightarrow{AB}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{AC}*\overrightarrow{AC}$
[/mm]
Mit (1) ist schon gezeigt, dass das Viereck ein
Parallelogramm und somit auch eben ist.
Zusammen mit (2): Rechteck
Zusammen mit (3): Quadrat
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Wenn ich zeigen will, dass vier
> > Punkte eines Raumes also ein Quadrat bilden, hat man sich
> > eigentlich über mehrere Sachen Gedanken zu machen:
> >
> > 1. Liegen die vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene?
> >
> > 2. Gleichgroße Seitenlängen?
> >
> > 3. Winkel?
>
>
> Ja.
> Nach meiner Ansicht kommt man mit dem geringsten
> Aufwand aus, wenn man etwa zeigt:
>
> 1.) [mm]\overrightarrow{AB}\ =\ \overrightarrow{DC}[/mm]
>
> 2.) [mm]\overrightarrow{AB}* \overrightarrow{AC}\ =\ 0[/mm]
>
> 3.) [mm]\overrightarrow{AB}* \overrightarrow{AB}\ =\ \overrightarrow{AC}*\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Mit (1) ist schon gezeigt, dass das Viereck ein
> Parallelogramm und somit auch eben ist.
> Zusammen mit (2): Rechteck
> Zusammen mit (3): Quadrat
ob es der geringste ist, weiß ich nicht. Aber er ist jedenfalls gering. 
Ein guter Vorschlag und eine vernünftige Vorgehensweise!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Do 07.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> ich stimme Dir zu bei allem, was Du hier geschrieben hast.
> Was andere hier (anfangs) vergessen hatten, ist, dass man
> sozusagen auch ebene Flächen "in den Raum ziehen kann".
Der Gang der Diskussion war ein anderer. Desert-Rose hatt in der ursprünglichen Anfrage behauptet, dass sie sich schon davon überzeugt hat, dass die vier Punkte ein Quadrat bilden. Ich habe mich selber auch davon überzeugt und bin dann auf die gestellte Frage eingegangen.
Die Frage, wie eigentlich dieser Nachweis erfolgt sei, hat Al-Chwarizmi aufgeworfen und, wie ersichtlich, ganz zu Recht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > ich stimme Dir zu bei allem, was Du hier geschrieben hast.
> > Was andere hier (anfangs) vergessen hatten, ist, dass man
> > sozusagen auch ebene Flächen "in den Raum ziehen kann".
>
> Der Gang der Diskussion war ein anderer. Desert-Rose hatt
> in der ursprünglichen Anfrage behauptet, dass sie sich
> schon davon überzeugt hat, dass die vier Punkte ein
> Quadrat bilden. Ich habe mich selber auch davon überzeugt
> und bin dann auf die gestellte Frage eingegangen.
>
> Die Frage, wie eigentlich dieser Nachweis erfolgt sei, hat
> Al-Chwarizmi aufgeworfen und, wie ersichtlich, ganz zu
> Recht.
ich hab's schon mitgelesen - und ich kann mir schon denken, dass der ein oder andere sich dessen bewußt war. Al hat aber nach wie vor absolut recht mit seinem Einwand/seinen Kommentaren!
Gruß,
Marcel
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