Vektoren < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
| Aufgabe | Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:
A =
3 2 1
6 3 0
9 1 1
b=
1
2
1
Ermittel sie die Lösung des linearen Gleichungssystem
a) mithilfe der Inversen der Koefizzientenmatrix
b) mithilfe der cramerschen regel
c)
mithilfe des gaußschen Algorithmus
Kann mir jemand sagen wie bei der a) vorgehen soll. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:
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> A =
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> 3 2 1
> 6 3 0
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> b=
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> Ermittel sie die Lösung des linearen Gleichungssystem
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> a) mithilfe der Inversen der Koefizzientenmatrix
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> b) mithilfe der cramerschen regel
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> c)
>
> mithilfe des gaußschen Algorithmus
>
> Kann mir jemand sagen wie bei der a) vorgehen soll.
Hallo,
wenn die Matrix A invertierbar ist, kannst Du das LGS Ax=b lösen, indem Du mit der Inversen von A multiplizierst:
[mm] A^{-1}Ax=A^{-1}b [/mm] <==> [mm] x=A^{-1}b.
[/mm]
Damit steht der Plan: Inverse der matrix berechnen, mit b multiplizieren.
LG Angela
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
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> > Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:
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> > A =
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> > 3 2 1
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> > b=
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> > Ermittel sie die Lösung des linearen Gleichungssystem
> >
> > a) mithilfe der Inversen der Koefizzientenmatrix
> >
> > b) mithilfe der cramerschen regel
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> > c)
> >
> > mithilfe des gaußschen Algorithmus
> >
> > Kann mir jemand sagen wie bei der a) vorgehen soll.
>
> Hallo,
>
> wenn die Matrix A invertierbar ist, kannst Du das LGS Ax=b
> lösen, indem Du mit der Inversen von A multiplizierst:
>
> [mm]A^{-1}Ax=A^{-1}b[/mm] <==> [mm]x=A^{-1}b.[/mm]
>
> Damit steht der Plan: Inverse der matrix berechnen, mit b
> multiplizieren.
>
> LG Angela
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
Mein erster Schritt sieht so aus :
hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
3 2 1 1 0 0
0 1 2 2 -1 0
9 1 1 0 0 1
Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen soll um die Inverse zu berechnen?
Bitte hilft mir.
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> > > Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:
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> > > A =
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> Mein erster Schritt sieht so aus :
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> hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
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> 0 1 2 2 -1 0
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> [mm] \red{9} [/mm] 1 1 0 0 1
>
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> Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> soll um die Inverse zu berechnen?
Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du mit der ersten und der dritten zeile arbeitest.
LG Angela
>
> Bitte hilft mir.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
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> > > > Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:
> > > >
> > > > A =
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> > > > 3 2 1
> > > > 6 3 0
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> > Mein erster Schritt sieht so aus :
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> > hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
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> > 0 1 2 2 -1 0
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> > [mm]\red{9}[/mm] 1 1 0 0 1
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> > Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> > soll um die Inverse zu berechnen?
>
> Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
> Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du mit der
> ersten und der dritten zeile arbeitest.
>
> LG Angela
> >
> > Bitte hilft mir.
>
Das habe ich jetzt gemacht:
1 Zeile *3 - 3Zeile .
Aber jetzt weiss ich wieder nicht wie ich vorgehen soll.
Leider komme ich nicht drauf .
3 2 1 1 0 0
0 1 2 2 -1 0
0 5 2 3 0 -1
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Hallo,
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> > > Mein erster Schritt sieht so aus :
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> > > hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
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> > > 0 1 2 2 -1 0
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> > > [mm]\red{9}[/mm] 1 1 0 0 1
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> > > Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> > > soll um die Inverse zu berechnen?
> >
> > Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
> > Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du mit der
> > ersten und der dritten zeile arbeitest.
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> > LG Angela
> > >
> > > Bitte hilft mir.
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> Das habe ich jetzt gemacht:
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> 1 Zeile *3 - 3Zeile .
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> Aber jetzt weiss ich wieder nicht wie ich vorgehen soll.
> Leider komme ich nicht drauf .
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>
> 0 1 2 2 -1 0
>
> 0 5 2 3 0 -1
Als nächstes muss die 5 weg. Das geht mit einer Kombination aus 2. und 3. zeile.
Verlier Dein Ziel nicht aus den Augen: die Einheitsmatrix mit nur Einsen in der Hauptdiagonalen, sonst alles Nullen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo,
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> > > > Mein erster Schritt sieht so aus :
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> > > > hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
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> > > > [mm]\red{9}[/mm] 1 1 0 0 1
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> > > > Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> > > > soll um die Inverse zu berechnen?
> > >
> > > Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
> > > Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du mit
> der
> > > ersten und der dritten zeile arbeitest.
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> > > LG Angela
> > > >
> > > > Bitte hilft mir.
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> > Das habe ich jetzt gemacht:
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> > 1 Zeile *3 - 3Zeile .
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> > Aber jetzt weiss ich wieder nicht wie ich vorgehen soll.
> > Leider komme ich nicht drauf .
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> Als nächstes muss die 5 weg. Das geht mit einer
> Kombination aus 2. und 3. zeile.
> Verlier Dein Ziel nicht aus den Augen: die Einheitsmatrix
> mit nur Einsen in der Hauptdiagonalen, sonst alles Nullen.
>
> Grüße
> reverend
>
Jetzt habe ich das hier stehen aber stecke wieder fest . Mist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
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> > > > > Mein erster Schritt sieht so aus :
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> > > > > hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
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> > > > > Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> > > > > soll um die Inverse zu berechnen?
> > > >
> > > > Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
> > > > Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du
> mit
> > der
> > > > ersten und der dritten zeile arbeitest.
> > > >
> > > > LG Angela
> > > > >
> > > > > Bitte hilft mir.
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> > > Das habe ich jetzt gemacht:
> > >
> > > 1 Zeile *3 - 3Zeile .
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> > > Aber jetzt weiss ich wieder nicht wie ich vorgehen soll.
> > > Leider komme ich nicht drauf .
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> > > 0 5 2 3 0 -1
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> > Als nächstes muss die 5 weg. Das geht mit einer
> > Kombination aus 2. und 3. zeile.
> > Verlier Dein Ziel nicht aus den Augen: die
> Einheitsmatrix
> > mit nur Einsen in der Hauptdiagonalen, sonst alles Nullen.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
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> Jetzt habe ich das hier stehen aber stecke wieder fest .
> Mist.
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> 3 2 1 1 0 0
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> 0 1 2 2 -1 0
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Ich habs nicht nachgerechnet.
1. Teile die letzt Gl. durch 8
2. Addiere das (-2) -fache der 2. Gl. auf die erste
3. Teile die 1. Gl. durch 3
4. addiere die 3. Gl. auf die erste.
FRED
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Hallo, ich habe gerechnet, bis hier ok, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich kannst du doch Gleichungsysteme lösen!
Um die Inverse zu finden musst du einfach [mm] A*x_i=b_i [/mm] lösen
wobei die [mm] b_i
[/mm]
sind [mm] b_1=\vektor{1 \\ 0\\ 0}, b_2=vektor{0\\ 1\\ 0}; b_3=vektor{0 \\ 0\\ 1}
[/mm]
wenn du die nebeneinander schreibst kannst du das alles auf einmal machen, weil die linke Seite immer dieselbe ist.
feine so erhaltenen 2 Vektoren [mm] x_i [/mm] sind dann die Spalten von [mm] A^{-1}
[/mm]
wenn du richtig gerechnet hast bist du doch jetzt scho praktisch fertig, nimm jetzt die einzelnen Vektoren rechts und löse auf.
da steht z.B für den ersten [mm] 8x_3=7 ;1*x_2+2x_3=2 [/mm] und
[mm] 3x_1+ 2x_2+ 1x_3= [/mm] 1 und mit
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] hast du die erste Spalte von [mm] A^{-1}
[/mm]
dann den 2 ten Vektor entsprechend.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
> > Hallo,
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> > > > > > > A =
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> > > > > > > 3 2 1
> > > > > > > 6 3 0
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> > > > > Mein erster Schritt sieht so aus :
> > > > >
> > > > > hAB die erste Zeile *2 genommen - 2 Zeile und das stehen :
> > > > >
> > > > > 3 2 1 1 0 0
> > > > >
> > > > > 0 1 2 2 -1 0
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> > > > > [mm]\red{9}[/mm] 1 1 0 0 1
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> > > > > Aber ich weiss nicht wie mein nächster schritt aussehen
> > > > > soll um die Inverse zu berechnen?
> > > >
> > > > Du mußt links systematisch die Einheitsmatrix erzeugen.
> > > > Erzeuge an Stelle der roten 9 eine 0, indem Du
> mit
> > der
> > > > ersten und der dritten zeile arbeitest.
> > > >
> > > > LG Angela
> > > > >
> > > > > Bitte hilft mir.
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> > > Das habe ich jetzt gemacht:
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> > > 1 Zeile *3 - 3Zeile .
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> > > Aber jetzt weiss ich wieder nicht wie ich vorgehen soll.
> > > Leider komme ich nicht drauf .
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> > > 0 1 2 2 -1 0
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> > > 0 5 2 3 0 -1
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> > Als nächstes muss die 5 weg. Das geht mit einer
> > Kombination aus 2. und 3. zeile.
> > Verlier Dein Ziel nicht aus den Augen: die
> Einheitsmatrix
> > mit nur Einsen in der Hauptdiagonalen, sonst alles Nullen.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
> Jetzt habe ich das hier stehen aber stecke wieder fest .
> Mist.
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> 3 2 1 1 0 0
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> 0 1 2 2 -1 0
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> 0 0 8 7 -5 1
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Könnt ihr mir bitte sagen wie ich nACH MEINEM letzten schritt vorgehen soll .
Ps leduart:
Danach versuche ich es auch nah deinem Weg zu lösen.
Ich übe ja nur.
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Hallo, in der Antwort von fred97 stehen die Schritte ganz exakt, den 1. mache ich für dich
3 2 1 1 0 0
0 1 2 2 -1 0
0 0 1 [mm] \bruch{7}{8} -\bruch{5}{8} \bruch{1}{8} [/mm]
die dritte Zeile ist somit ok, die nächsten Schritte von dir,
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 11.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
Als inverse bekomme ich diese Matrix raus:
-1/8 -1/6 1/8
1/4 -9/4 -1/4
7/8 -5/8 1/8
Damit hätte ich doch die Inverse mit dem Gauß
Algorithmus berechnet oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 11.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Als inverse bekomme ich diese Matrix raus:
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> -1/8 -1/6 1/8
>
> 1/4 -9/4 -1/4
>
> 7/8 -5/8 1/8
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> Damit hätte ich doch die Inverse mit dem Gauß
>
> Algorithmus berechnet oder?
Versuche doch, den Formeleditor zu nutzen.
Du hast duch irgendwo noch verrechnet:
[mm]A=\begin{pmatrix}3&2&1\\
6&3&0\\
9&1&1\end{pmatrix}[/mm]
führt zu
[mm]A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{24}&\frac{1}{8}\\
\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\
\frac{7}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{1}{8}\end{pmatrix}[/mm]
Bei deiner Matrix gilt [mm] $A\cdot A^{-1}\ne [/mm] E$
Marius
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
Wie gehe ich bei der c vor ? Oder war dies das verfahren mit Gauß ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Mo 12.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Wie gehe ich bei der c vor ? Oder war dies das verfahren
> mit Gauß ?
Nein, die inverse Matrix ist für Aufgabenteil a) relevant.
in a) bist du aber noch nicht fertig:
[mm] A\cdot\vec{x}=\vec{b}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow A^{-1}\cdot A\cdot \vec{x}=A^{-1}\cdot\vec{b}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \vec{x}=A^{-1}\cdot\vec{b}
[/mm]
in c)
Hier erstelle aus
[mm] \begin{pmatrix}3&2&1\\6&3&0\\9&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}
[/mm]
ein lineares Gleichungssystem, indem du [mm] \begin{pmatrix}3&2&1\\6&3&0\\9&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} [/mm] ausrechnest.
Danach löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren.
Marius
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