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| Aufgabe | Hallo, folgende Aufgabe:
Die Punkte A(2|4|3),B(4|6|4),C(2|7|6) und D(0|5|5) bilden ein Viereck.
a) Zeigen Sie, das Viereck ABCD ist ein Quadrat.
b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1|1|6) und Q(3|−3|4). Untersuchen sie, ob die Gerade g und die Vierecksfläche ABCD einen gemeinsamen Punkt haben. |
Bei Aufgabe a) habe ich bewiesen das es sich um ein Quadrat handelt. Bei Aufgabe b) habe ich erstmal die Ebenengleichung für ABC aufgestellt und diese Ebene dann mit der Geraden g schneiden lassen. Dadurch bekam ich den Schnittpunkt (206|−156|226).
Jetzt die Frage: Wie kann ich beweisen das der Schnittpunkt auf der Vierecksfläche liegt?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de; www.matheboard.de
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Hallo noname102,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, folgende Aufgabe:
> Die Punkte A(2|4|3),B(4|6|4),C(2|7|6) und D(0|5|5) bilden
> ein Viereck.
> a) Zeigen Sie, das Viereck ABCD ist ein Quadrat.
> b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1|1|6) und
> Q(3|−3|4). Untersuchen sie, ob die Gerade g und die
> Vierecksfläche ABCD einen gemeinsamen Punkt haben.
> Bei Aufgabe a) habe ich bewiesen das es sich um ein
> Quadrat handelt. Bei Aufgabe b) habe ich erstmal die
> Ebenengleichung für ABC aufgestellt und diese Ebene dann
> mit der Geraden g schneiden lassen. Dadurch bekam ich den
> Schnittpunkt (206|−156|226).
>
Der Schnittpunkt von g mit der Ebene stimmt nicht.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Jetzt die Frage: Wie kann ich beweisen das der Schnittpunkt
> auf der Vierecksfläche liegt?
>
> Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de;
> www.matheboard.de
Gruss
MathePower
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Ups, entschuldigung, ich hab die Frage kopiert und nicht aufgepasst ob alles Formatierungen übernommen werden. Hier der eigentliche [mm] S(\bruch{20}{6} [/mm] | [mm] \bruch{-15}{6} [/mm] | [mm] \bruch{22}{6} [/mm] )
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Hallo noname102,
> Ups, entschuldigung, ich hab die Frage kopiert und nicht
> aufgepasst ob alles Formatierungen übernommen werden. Hier
> der eigentliche [mm]S(\bruch{20}{6}[/mm] | [mm]\bruch{-15}{6}[/mm] |
> [mm]\bruch{22}{6}[/mm] )
Der Schnittpunkt ist trotzdem nicht richtig.
Gruss
MathePower
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Stimmt, um s zu finden habe ich eine Ebene aus den Punkte ABC und eine Gerade aus PQ gebildet. Dabei habe ich einen Übertragungsfehler gemacht. Der richtige Schnittpunkt müsste ( [mm] \bruch{-16}{6} [/mm] | [mm] \bruch{50}{6} [/mm] | [mm] \bruch{58}{6} [/mm] ) sein.
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Hallo noname102,
> Stimmt, um s zu finden habe ich eine Ebene aus den Punkte
> ABC und eine Gerade aus PQ gebildet. Dabei habe ich einen
> Übertragungsfehler gemacht. Der richtige Schnittpunkt
> müsste ( [mm]\bruch{-16}{6}[/mm] | [mm]\bruch{50}{6}[/mm] | [mm]\bruch{58}{6}[/mm] )
> sein.
Ja, das ist der richtige Schnittpunkt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Hallo, folgende Aufgabe:
Die Punkte A(2|4|3),B(4|6|4),C(2|7|6) und D(0|5|5) bilden ein Viereck.
a) Zeigen Sie, das Viereck ABCD ist ein Quadrat.
b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1|1|6) und Q(3|−3|4). Untersuchen sie, ob die Gerade g und die Vierecksfläche ABCD einen gemeinsamen Punkt haben. |
OK, dann wieder zur ursrpünglichen Frage, wie kann ich beweisen, dass der Punkt S im Viereck ABCD liegt?
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Hallo noname102,
> Hallo, folgende Aufgabe:
> Die Punkte A(2|4|3),B(4|6|4),C(2|7|6) und D(0|5|5) bilden
> ein Viereck.
> a) Zeigen Sie, das Viereck ABCD ist ein Quadrat.
> b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1|1|6) und
> Q(3|−3|4). Untersuchen sie, ob die Gerade g und die
> Vierecksfläche ABCD einen gemeinsamen Punkt haben.
> OK, dann wieder zur ursrpünglichen Frage, wie kann ich
> beweisen, dass der Punkt S im Viereck ABCD liegt?
Meines Wissens lautet die aufgestellte Ebene:
[mm]E:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r*\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+s*\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)[/mm]
Diese Richtungsvektoren sind nicht orthogonal.
Zerlege daher, wie folgt:
[mm]\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\left( \ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \ \right)+\left( \ \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \ \right)[/mm]
Diese Richtungsvektoren sind jetzt orthogonal.
Damit lautet die neue Ebene:
[mm]F:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+u*\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+v*\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)[/mm]
,wobei für ein Viereck gelten muss:
[mm]0 \le u \le 1, \ 0 \le \\ v \le 1[/mm]
Bestimme also die Koordinaten des
Schnittpunktes bezüglich dieser Ebene F.
Dann kannst Du entscheiden, ob der Schnittpunkt im Viereck liegt.
Gruss
MathePower
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OK, stimmt, meine Ebene war so aufgestellt. Drei Fragen zu Ihrer Lösungsmöglichkeit:
1. Warum müssen die Richtungsvektoren orthogonal sein?
2. Wenn ich es richtig verstanden hast rechnen Sie den Vektor [mm] \vec AC [/mm] aus. dieser ist ja eine Diagonale im Quadrat. Sollte nicht der Vektor [mm] \vec BD [/mm] orthogonal dazu sein? Sie verwenden aber den Vektor [mm] \vec AB [/mm] für die Ebenengleichung F
3. Warum gelten diese Bedingunge für ein Viereck?
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Hallo noname102,
> OK, stimmt, meine Ebene war so aufgestellt. Drei Fragen zu
> Ihrer Lösungsmöglichkeit:
Wir sind hier alle per "Du".
> 1. Warum müssen die Richtungsvektoren orthogonal sein?
Damit die nachfolgende Rechnung einfacher wird.
> 2. Wenn ich es richtig verstanden hast rechnen Sie den
> Vektor [mm]\vec AC[/mm] aus. dieser ist ja eine Diagonale im
> Quadrat. Sollte nicht der Vektor [mm]\vec BD[/mm] orthogonal dazu
> sein? Sie verwenden aber den Vektor [mm]\vec AB[/mm] für die
> Ebenengleichung F
AC bzw. BD sind keine Seiten des Quadrats.
> 3. Warum gelten diese Bedingunge für ein Viereck?
Weil Du damit die Eckpunkte des Quadrates erreichst.
Gruss
MathePower
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Mit Bedingung meinte ich warum
[mm] 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1 [/mm]
gelten muss bzw wovon die Regel abgeleitet wird?
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Hallo noname102,
> Mit Bedingung meinte ich warum
> [mm]0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1[/mm]
> gelten muss bzw wovon die
> Regel abgeleitet wird?
>
Die Ebenengleichung wird doch so aufgestellt,
daß die Parameter u,v Werte zwischen 0 und 1 annehmen können.
Die Parameter u,v laufen zwischen 0 und 1
weil damit die Eckpunkte des Quadrates erreicht werden.
Gruss
MathePower
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OK, dann noch zur Kontrolle ob ich es richtig verstanden habe. Wenn z.B. u=1 ist (u AB). dann würde das heißen, dass von Punkt A aus, der Punkt B erreicht würde? Oder wenn v=0 (v BC), dann würde man auf B "bleiben"?
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Hallo noname102,
> OK, dann noch zur Kontrolle ob ich es richtig verstanden
> habe. Wenn z.B. u=1 ist (u AB). dann würde das heißen,
> dass von Punkt A aus, der Punkt B erreicht würde? Oder
> wenn v=0 (v BC), dann würde man auf B "bleiben"?
Wenn für u=1 und v=0 eingesetzt wird, dann erreicht man damit B.
Ja, das hast Du richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 08.12.2011 | | Autor: | noname102 |
OK, dann ist die Frage damit gelöst! Vielen Dank für deine Hilfe und die super Erklärung!
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