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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 20.12.2016 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Gegeben sin die Vektoren:
[mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ sin(x) \\ -cos(x) \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ sin(x) \\ -cos(x) \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] c = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ sin(x) \\ 1 \\ 2 \\ -cos(x) \end{pmatrix}
[/mm]
Für welche reellen Werte-x gilt:
a) [mm] \vec [/mm] a ist orthogonal zu [mm] \vec [/mm] b ?
b) [mm] \vec [/mm] a ist orthogonal zu [mm] \vec [/mm] c ? |
Hi zusammen,
das Skalarprodukt muss 0 ergeben.
zu a)
Ich habe das Skalarprodukt gleich 0 gesetzt und dann komme auf 0 = 0.
Bedeutet das alle [mm] x\in\IR [/mm] sind möglich?
Meine Rechnung:
0 = ((-1)*1) + (sin(x)*sin(x))+((-cos(x))*(-cos(x))) + (2*2) + (2*(-2))
0 = -1 + [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] + 4 - 4
[mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1
0 = -1 + 1 + 4 - 4
0 = 0
Schreibt man dann x = [mm] x\in\IR [/mm] ?
b)
Hier komme ich zu folgendem.
0 = -1 + [mm] sin^2(x) [/mm] - 3cos(x)
Jetzt weiß ich nicht so recht wie ich nun zu x auflösen kann.
Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 20.12.2016 | | Autor: | X3nion |
> | Aufgabe | Gegeben sin die Vektoren:
> [mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ sin(x) \\ -cos(x) \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
> [mm] \vec [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ sin(x) \\ -cos(x) \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
> [mm] \vec [/mm] c = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ sin(x) \\ 1 \\ 2 \\ -cos(x) \end{pmatrix}
[/mm]
> Für welche reellen Werte-x gilt:
> a) [mm] \vec [/mm] a ist orthogonal zu [mm] \vec [/mm] b ?
> b) [mm] \vec [/mm] a ist orthogonal zu [mm] \vec [/mm] c ? |
> Hi zusammen,
Hi Bindl
> das Skalarprodukt muss 0 ergeben.
Vollkommen richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu a)
> Ich habe das Skalarprodukt gleich 0 gesetzt und dann komme auf 0 = 0.
> Bedeutet das alle [mm] x\in\IR [/mm] sind möglich?
> Meine Rechnung:
> 0 = ((-1)*1) + (sin(x)*sin(x))+((-cos(x))*(-cos(x))) + (2*2) + (2*(-2))
> 0 = -1 + [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] + 4 - 4
> [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1
> 0 = -1 + 1 + 4 - 4
> 0 = 0
Die Rechnung sieht gut aus. Wenn die Bedingung [mm] \overrightarrow{a} \* [/mm] overrightarrow{b} = 0 nicht mehr von x abhängt, so kannst du alle reellen Zahlen dafür einsetzen. Die Terme mit x heben sich ja auf und somit haben die Werte für x ja keine Bedeutung mehr.
Nun gibt es 2 Möglichkeiten:
1) 0 = 0 Dies ist eine wahre Aussage. Somit gilt [mm] \overrightarrow{a} \* \overrightarrow{b} [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
2) 0 = a mit a [mm] \not= [/mm] 0 (also z.B. 0 = 2). Dies wäre eine falsche Aussage, folglich gibt es kein x [mm] \in \IR, [/mm] sodass [mm] \overrightarrow{a} \* [/mm] overrightarrow{b} = 0 ist.
> Schreibt man dann x = [mm] x\in\IR [/mm] ?
Man würde schreiben [mm] \overrightarrow{a} \* \overrightarrow{b} [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \IR (\forall [/mm] x [mm] \in \IR)
[/mm]
> b)
> Hier komme ich zu folgendem.
> 0 = -1 + [mm] sin^2(x) [/mm] - 3cos(x)
Fast richtig! Du hast nur einen Term vergessen, nämlich 2*2 (die Komponenten [mm] a_{4} [/mm] und [mm] b_{4}).
[/mm]
Insgesamt erhält man als Skalarprodukt [mm] \overrightarrow{a} \* \overrightarrow{c} [/mm] = 3 + [mm] sin^2(x) [/mm] - 3cos(x)
> Jetzt weiß ich nicht so recht wie ich nun zu x auflösen kann.
> Kann mir jemand helfen?
> Danke schonmal im voraus
Nun du bekommst 0 = 3 + [mm] sin^2(x) [/mm] - 3cos(x).
Kleiner Tipp: wie du oben im Aufgabenteil a) schon richtig gesagt hast, ist [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1.
Nun steht es ja eigentlich mit [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1 schon da, wie du den Term 0 = 3 + [mm] sin^2(x) [/mm] - 3cos(x) vereinfachen kannst!
VG X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 20.12.2016 | | Autor: | Bindl |
> Nun steht es ja eigentlich mit [mm]sin^2(x)[/mm] + [mm]cos^2(x)[/mm] = 1
> schon da, wie du den Term 0 = 3 + [mm]sin^2(x)[/mm] - 3cos(x)
> vereinfachen kannst!
Also, da bräuchte ich einen weiteren Hinweis.
Ich sehe nicht so recht wie ich das machen muss.
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Hallo, ich denke mal, Du hast den Fehler erkannt, es fehlte ein Summand, somit hast Du
[mm] 3+sin^2(x)-3*cos(x)=0
[/mm]
aus [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] folgt [mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)
[/mm]
setze oben ein
[mm] 3+1-cos^2(x)-3*cos(x)=0
[/mm]
[mm] 4-cos^2(x)-3*cos(x)=0
[/mm]
sieht ja zunächst nicht schön aus, mache Substitution u:=cos(x)
[mm] 4-u^2-3u=0
[/mm]
[mm] -u^2-3u+4=0
[/mm]
[mm] u^2+3u-4=0
[/mm]
eine wunderschöne quadratische Gleichung, löse diese, mache dann Rücksubstitution, BEACHTE die Periode der Cosinusfunktion
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 20.12.2016 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für den Hinweis.
Dann bekomme ich für [mm] u_1=1 [/mm] und [mm] u_2=4
[/mm]
Wenn ich dann wieder "rücksubstituiere" habe ich,
1 = [mm] cos(x_1) [/mm] -> [mm] x_1 [/mm] = arcos(1) = 0
Also sind die Vektoren für x = 0 orthogonal.
4 = [mm] cos(x_2)
[/mm]
Der arcos(x) "läuft" ja zwischen -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Also ist er für x = 4 nicht definiert und keine x-Wert für den die Vektoren orthogonal sind.
Ist das richtig?
Subsitution ist bei mir schon ein paar Tage her und auf der HS wo ich gerade bin ist das sicher keine Thema, weshalb ich mich hier ein bisschen wundere das ich das anwenden muss. Aber ok, so ca. weiß ich noch wie es geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 20.12.2016 | | Autor: | X3nion |
> Hi,
> danke für den Hinweis.
> Dann bekomme ich für [mm] u_1=1 [/mm] und [mm] u_2=4
[/mm]
Es sollte [mm] u_1 [/mm] = 1 und [mm] u_2 [/mm] = -4 herauskommen, denn gemäß Mitternachtsformel gilt:
[mm] u_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{-b \pm \wurzel{b^{2}-4*a*c}}{2a}
[/mm]
mit a = 1, b=3 und c=-4 ergibt sich:
[mm] u_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{-3 \pm \wurzel{3^{2}-4*1*(-4}}{2*1} [/mm]
= [mm] \frac{-3 \pm \wurzel{9+16}}{2} [/mm] = [mm] \frac{-3 \pm 5}{2}
[/mm]
=> [mm] u_1 [/mm] = -4, [mm] u_2 [/mm] = 1
> Wenn ich dann wieder "rücksubstituiere" habe ich,
> 1 = [mm] cos(x_1) [/mm] -> [mm] x_1 [/mm] = arcos(1) = 0
> Also sind die Vektoren für x = 0 orthogonal.
Steffi21 hat noch geschrieben, dass du die Periodizität der Cosinus-Funktion beachten musst.
Man hat u:= cos(x) gesetzt.
Rücksubstitution von [mm] u_2:
[/mm]
Man kann zwar die Lösung x=0 anhand der arccos-Funktion begründen, jedoch nicht die Periodizität!
Wir suchen alle x-Werte, für die cos(x) = 1 gilt. Dies gilt offensichtlich (wenn man die Periodizität der cos-Funktion bzw. vom cos am Einheitskreis betrachtet betrachtet) für x:= [mm] 2*k*\pi, k\in\IZ [/mm] (also für ..., [mm] x=-2\pi, [/mm] x=0, x = [mm] 2\pi, [/mm] ...)
> 4 = [mm] cos(x_2)
[/mm]
> Der arcos(x) "läuft" ja zwischen -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
> Also ist er für x = 4 nicht definiert und keine x-Wert für den die Vektoren
> orthogonal sind.
> Ist das richtig?
Dass der arccos(x) nur im Intervall [-1, 1] definiert ist, ist richtig, und folglich hat die Gleichung 4 = cos(x) keine Lösung.
Das x=4, was du schreibst, hat jedoch nicht direkt etwas mit den Argumenten in den gegebenen Vektoren zu tun. (Denn x = 4 beziehst du auf den arccos(x), aber gegeben sind die Funktionen sin(x) bzw. cos(x))
Deshalb würde ich fast eher dazu tendieren, lieber anhand der cos-Funktion oder anhand vom Einheitskreis zu begründen, anstatt die Umkehrfunktion heranzuziehen.
> Subsitution ist bei mir schon ein paar Tage her und auf der HS wo ich
> gerade bin ist das sicher keine Thema, weshalb ich mich hier ein bisschen
> wundere das ich das anwenden muss. Aber ok, so ca. weiß ich noch wie es > geht.
Wahrscheinlich ist der Dozent davon ausgegangen, dass das aus der Schulmathematik bekannt ist. Oder aber er sagt, falls es bekannt ist dann soll man die Aufgabe machen, ansonsten soll man sie lassen. So zumindest war der Wortlaut eines Dozenten, dem ich begegnet bin bei einer Aufgabe!
Viele Grüße,
X3nion
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