Vektoren suchen die U aufspann < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Do 17.07.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Die Menge aller Vektoren x e R³ mit x1+2x2+3x3=0 bildet einen Untervektorraum U des R³.
Man bestimme linear unabhängige Vektoren des R³, die U aufspannen. |
Wie bestimme ich linear unabhänige Vektoren des R³, die U aufspannen?
Weiß nicht, wie ich vorgehen soll :/.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Do 17.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm] U=\{x\in\IR^3|x_1+2x_2+3x_3=0\}.
[/mm]
Das bedeutet, U ist die Menge der [mm] x\in\IR^3 [/mm] für die die Gleichung [mm] x_1+2x_2+3x_3=0 [/mm] erfüllt ist.
Z.B. ist der Vektor [mm] x=(1,-\bruch{1}{2},0)^t\in{U}, [/mm] weil dieser die Gleichung [mm] x_1+2x_2+3x_3=0 [/mm] erfüllt.
Jetzt musst du dir die Frage stellen, wie viele unabhängige Vektoren [mm] x\in\IR^3 [/mm] erfüllen noch die Gleichung [mm] x_1+2x_2+3x_3=0.
[/mm]
Hast du am Ende alle unabhängigen Vektoren gefunden, so kannst mit ihnen sämtliche Lösungen der Gleichung [mm] x_1+2x_2+3x_3=0 [/mm] generieren; sie bilden demnach eine Basis von U, spannen U also auf.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 17.07.2008 | | Autor: | Torboe |
ah ok, vielen dank für die schnelle antwort.
also gehe ich, wenn ich linear unabhängige vektoren suchen soll, die R³ aufspannen, her und schaue nach vektoren, welche die gleichung erfüllen.
da wäre zb noch (1,1,-1).
wie ich die vektoren dann auf lin. unabhängigkeit überprüfe ist mir klar.
aber eine frage noch: ich habe hier stehen, dass x1+2x2+3x3=0 eine Ebene durch 0 ist. das wird mir nicht so ganz klar?! woran kann ich erkennen, dass es sich hier um eine ebene handelt? sieht mir mehr nach nem raum aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ah ok, vielen dank für die schnelle antwort.
> also gehe ich, wenn ich linear unabhängige vektoren suchen
> soll, die R³ aufspannen, her und schaue nach vektoren,
> welche die gleichung erfüllen.
> da wäre zb noch (1,1,-1).
> wie ich die vektoren dann auf lin. unabhängigkeit überprüfe
> ist mir klar.
> aber eine frage noch: ich habe hier stehen, dass
> x1+2x2+3x3=0 eine Ebene durch 0 ist. das wird mir nicht so
> ganz klar?! woran kann ich erkennen, dass es sich hier um
> eine ebene handelt? sieht mir mehr nach nem raum aus.
Es ist ein zwei-dimensionaler Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] also eine Ebene (da zwei-dimensional) durch den Ursprung (da Unterraum, also muss das neutrale Element drin sein - dieses ist (0,0,0)).
|
|
|
|
