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Hi,
ich habe ein paar Fragen zum Thema Vektoren und hoffie ihr könnt mir helfen.
1)Wir haben in der Schule folgendes gesagt:
"Die Menge [mm] V_{2} [/mm] der Pfeilvektroen einer Ebene ist ein Vektorraum. Die Menge [mm] V_{3} [/mm] der Pfeilvektroen im Raum ist ebenfalls ein Vektorraum."
Frage:
Was bedeutet hier Ebene bzw. Raum?Gibt es auch zb. eine Menge [mm] V_{2} [/mm] der Pfeilvektoren im Raum?
2)Außerdem haben wir in der Schule gesagt:" Auch Teilmengen von Vektorräumen können selber Vektorräume sein. Bsp.:
Ist die Menge [mm] U=\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ a \end{pmatrix} a;b\in \mathbb [/mm] R Untervektorraum des [mm] \mathbb R^{3}?"
[/mm]
Frage:
Muss man hier nur überprüfen, ob man einen Vektorraum hat, oder muss man überprüfen, ob es eine Teilmenge von [mm] \mathbb R^{3} [/mm] ist? Wenn ja, was genau ist dann eine Teilmenge?
3)Für alle reellen Zahlen gilt ja das Assoziativgesetz, die s-Multiplikation und das Kommutativgesetz. Bei welchen Zahlengruppen würde dies aber nicht gelten?
4)Wie finde ich das neutrlae und das inverse Element zu dreierTupeln, wie [mm] \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ b \end{pmatrix} [/mm] ? Zu einfachen Zahlen ist das ja einfach, aber wie man das bei Tupeln anstellt weiß ich irgendwie nicht. Dafr ich da für jedes Element des Tupels ein eigenes Element ausdenken, oder wi muss ich das machen?
5) Letzte Frage Big Laugh
In der Schule haben wir [mm] festgestellt:\begin{pmatrix} a_1 \\ a_1^{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_2 \\ a_2^{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1+a_2 \\ a_1^{2}+a_2^{2} \end{pmatrix} [/mm] ist nicht abgeschlossen, weil folgendes gilt:
[mm] (a+b)^{2} \neq a^{2} +b^{2} [/mm]
Frage: Ich verstehe die Begründung nicht ganz. Ich weiß zwar, dass [mm] (a+b)^{2} \neq a^{2} +b^{2} [/mm] richtig ist, aber was hat das mit der abgeschlossenheit zu tun?
das Thema wurde bereits in ein anderes Forum gepostet, wo mir aber keiner helfen konnte.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=456062
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Sa 14.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
> ich habe ein paar Fragen zum Thema Vektoren und hoffie ihr
> könnt mir helfen.
>
> 1)Wir haben in der Schule folgendes gesagt:
> "Die Menge [mm]V_{2}[/mm] der Pfeilvektroen einer Ebene ist ein
> Vektorraum. Die Menge [mm]V_{3}[/mm] der Pfeilvektroen im Raum ist
> ebenfalls ein Vektorraum."
>
> Frage:
> Was bedeutet hier Ebene bzw. Raum?Gibt es auch zb. eine
> Menge [mm]V_{2}[/mm] der Pfeilvektoren im Raum?
Mit Ebene ist das normale, aus dem Schulunterricht bekannte zweidimensionale Koordinatensystem gemeint, mit Raum (ohne Vektor davor) der normale dreidimensionale Raum unserer Umwelt.
[mm] V_{2} [/mm] ist also ein zweidimensionäler "Ebenenvektor", [mm] V_{3} [/mm] ein dreidimesionaler "Raumvektor"
>
> 2)Außerdem haben wir in der Schule gesagt:" Auch
> Teilmengen von Vektorräumen können selber Vektorräume
> sein. Bsp.:
> Ist die Menge [mm]U=\begin{pmatrix} a \\
0 \\
a \end{pmatrix} a;b\in \mathbb[/mm]
> R Untervektorraum des [mm]\mathbb R^{3}?" $"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cmathbb%20R%5E%7B3%7D%3F$" "="">
>
> Frage:
> Muss man hier nur überprüfen, ob man einen Vektorraum
> hat, oder muss man überprüfen, ob es eine Teilmenge von
> ![$\mathbb R^{3}[/mm] ist? Wenn ja, was genau ist dann eine
</font>
<br>
<font class=]() > Teilmenge?
Korrekt. Überprüfe die Vektorraumbedingungen.
Hier, miv [mm] v=\vektor{a\\0\\b} [/mm] hast du die Vektoren, die in der zweiten Dimension nichts verändern.
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> 3)Für alle reellen Zahlen gilt ja das Assoziativgesetz,
> die s-Multiplikation und das Kommutativgesetz. Bei welchen
> Zahlengruppen würde dies aber nicht gelten?
Bei Matrizen z.B, falls ihr diese schon gemacht habt.
>
> 4)Wie finde ich das neutrlae und das inverse Element zu
> dreierTupeln, wie [mm]\begin{pmatrix} a \\
0 \\
b \end{pmatrix}[/mm]
> ? Zu einfachen Zahlen ist das ja einfach, aber wie man das
> bei Tupeln anstellt weiß ich irgendwie nicht. Dafr ich da
> für jedes Element des Tupels ein eigenes Element
> ausdenken, oder wi muss ich das machen?
Suche zuerst mal das neutrale Element, also den Vektor [mm] \vec{[n}, [/mm] für den gilt:
[mm] \vec{v}+\vec{n}=\vec{v}, [/mm] hier hast du ja mit [mm] \vec{v}=\vektor{a\\0\\b} [/mm] die Elemente des Untervektorraumes gegeben, also suche den Vektor [mm] \vec{n}, [/mm] für den gilt:
[mm] \vektor{a\\0\\b}+\vec{v}=\vektor{a\\0\\b}
[/mm]
Danach suche den Vektor [mm] \vec{u} [/mm] (in Abhängigkeit der Parameter a und b) für den gilt:
[mm] \vektor{a\\0\\b}*\vec{u}=\vec{n}
[/mm]
>
> 5) Letzte Frage Big Laugh
> In der Schule haben wir [mm]festgestellt:\begin{pmatrix} a_1 \\
a_1^{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_2 \\
a_2^{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1+a_2 \\
a_1^{2}+a_2^{2} \end{pmatrix}[/mm]
> ist nicht abgeschlossen, weil folgendes gilt:
> [mm](a+b)^{2} \neq a^{2} +b^{2}[/mm]
>
> Frage: Ich verstehe die Begründung nicht ganz. Ich weiß
> zwar, dass [mm](a+b)^{2} \neq a^{2} +b^{2}[/mm] richtig ist, aber
> was hat das mit der abgeschlossenheit zu tun?
Es muss doch gelten, dass das Ergebnis einer Addition zweier Elemente wieder in dem Untervektorraum liegen soll.
Marius
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Hallo!
Danke für deine Antowrt, ihr seid echt schnell!
Ein paar Fragen hätte ich aber noch:
1)
Du hattest einmal geschrieben:"...die Vektoren, die in der zweiten Dimension nichts verändern. "
Frage: Was genau meinst du damit? Ich verstehe den Begriff Teilmenge auch nicht ganz: In der Schule hatten wir gesagt, dass eine Teilmenge einer Menge ein Teil dieser Menge ist. Das hat mir zum Verständnis aber nicht viel beigetragen. Was genau gilt für diese Teilmenge?
2)
$ [mm] \vektor{a\\0\\b}\cdot{}\vec{u}=\vec{n} [/mm] $
Frage: Also muss ich den Vektor finden, indem ich meinen Tupel mit einer Zahl multipliziere?
3)
"Es muss doch gelten, dass das Ergebnis einer Addition zweier Elemente wieder in dem Untervektorraum liegen soll. "
Frage: Mit den Untervektor ist doch die Menge gemeint, die zu [mm] \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2^2 \end{pmatrix} [/mm] gehört, oder?
Ich weiß nicht, ob es zu viel verlangt ist, aber könntest Du mir erklären, warum das Ergebnis dieser Addition, das wir hier haben nicht in den Untervektorraum gehört?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> Hallo!
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> Ein paar Fragen hätte ich aber noch:
> ...
> Frage: Mit den Untervektor ist doch die Menge gemeint, die
> zu [mm]\begin{pmatrix} a_1 \\ a_1^2 \end{pmatrix}[/mm]
ich gehe mal davon aus, dass Du Dich hier verschrieben hast.
> gehört, oder?
> Ich weiß nicht, ob es zu viel verlangt ist, aber
> könntest Du mir erklären, warum das Ergebnis dieser
> Addition, das wir hier haben nicht in den Untervektorraum
> gehört?
>
> Vielen Dank im Voraus!
Einmal ohne Variablen erklärt: Deine Vektoren bestehen aus: [mm] $\vec [/mm] v = [mm] \vektor{oben \\(oben)^2}$
[/mm]
Wenn nun $oben = [mm] a_1+a_2$ [/mm] ist, dann kann unten nicht [mm] $a_1^2+a_2^2$ [/mm] sein - und deshalb kann der Vektor [mm] $\vec [/mm] u = [mm] \vektor{a_1+a_2 \\ a_1^2+a_2^2}$ [/mm] nicht zu dem Vektorraum gehören, zu dem der Vektor [mm] $\vec [/mm] v$ gehört.
Gruß
Pappus
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Guten Abend!
Vielen Dank, jetzt habe ich eigentlich alles verstanden, aber könntest du vielleicht auch noch auf meine erste Frage eingehen, die mit den"... Vektoren, die in der zweiten Dimension nichts verändern. " ?
Vielen herzlichen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Di 17.05.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> Guten Abend!
> Vielen Dank, jetzt habe ich eigentlich alles verstanden,
> aber könntest du vielleicht auch noch auf meine erste
> Frage eingehen, die mit den"... Vektoren, die in der
> zweiten Dimension nichts verändern. " ?
>
> Vielen herzlichen Dank im Voraus!
Du schriebst:
2)Außerdem haben wir in der Schule gesagt:" Auch Teilmengen von Vektorräumen können selber Vektorräume sein. Bsp.:
Ist die Menge $ [mm] U=\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ b \end{pmatrix} a;b\in \mathbb [/mm] R$ Untervektorraum des $ [mm] \mathbb R^{3}?" [/mm] $
Frage:
Muss man hier nur überprüfen, ob man einen Vektorraum hat, oder muss man überprüfen, ob es eine Teilmenge von $ [mm] \mathbb R^{3} [/mm] $ ist? Wenn ja, was genau ist dann eine Teilmenge?
1. Ich gehe davon aus, dass Du Dich bei der Angabe des Unterraums verschrieben hast(?).
2. Ich gehe davon aus, dass Du die Axiome für einen Vektorraum kennst. Überprüfe, ob sie für alle Elemente von U zutreffen. Wenn ja, hast Du einen Untervektorraum.
3. Alle Elemente einer Teilmenge habe alle Eigenschaften der Gesamtmenge (Obermenge), unterscheiden sich aber durch ein (oder mehrere) zusätzliche Merkmale.
Ein nicht-mathematisches Beispiel:
Lebewesen - Tiere - Warmblüter - Säugetiere.
* Tiere:= Teilmenge, da zu den Lebewesen auch Pflanzen gehören
* Warmblüter:= Teilmenge von Tieren, da zu den Tieren auch Insekten, Reptilien, Amphibien, Fische gehören
* Säugetiere:= Teilmenge von Warmblüter, da zu den Warmblüter auch Vögel gehören.
Die Vektoren Deiner Menge U haben die zusätzliche Eigenschaft, die zweite Komponente nicht zu verändern, die bleibt bei allen für einen Körper charakteristischen Operationen unverändert.
Viele Grüße und frohes Schaffen
Pappus
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Hi!
Danke für deine Antowrt, jetzt habe ich fast alles verstanden. Ich bin mir aber nicht ganz sicher was du mit "die zweite Komponente" meinst. Kannst du das freundlicherweise erklären?
MfG
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Hallo Chilledkroeten,
> Hi!
> Danke für deine Antowrt, jetzt habe ich fast alles
> verstanden. Ich bin mir aber nicht ganz sicher was du mit
> "die zweite Komponente" meinst. Kannst du das
> freundlicherweise erklären?
Die zweite Komponente ist diese: [mm]\pmat{a \\ \blue{0} \\ b}[/mm]
>
> MfG
Gruss
MathePower
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